Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 29.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + (\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_*\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{(\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_*} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]

  4. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + (\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_*\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019010 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (26)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b))) 1))

Details

Time bar (total: 28.6s)Debug log

sample179.0ms

Algorithm
intervals

simplify566.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
566.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b))) 1)

prune6.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize21.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.0b
(* 4 (* b b))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b)))
0.0b
(+ (* a a) (* b b))

rewrite27.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
8×add-log-exp
8×fma-def
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×unpow-prod-down
5×add-exp-log
5×pow1
4×log1p-expm1-u
4×add-cbrt-cube
4×expm1-log1p-u
2×unpow2
2×flip-+
2×flip3-+
2×sum-log
2×+-commutative
1×*-commutative
1×pow-exp
1×associate-*r*
1×pow-pow
1×pow-to-exp
Counts
4 → 61
Calls
4 calls:
Slowest
17.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b)))
5.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
2.0ms
(+ (* a a) (* b b))
2.0ms
(* 4 (* b b))

series130.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
56.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b)))
25.0ms
(* 4 (* b b))
24.0ms
(+ (* a a) (* b b))
24.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify1.6s

Counts
25 → 73
Calls
25 calls:
Slowest
208.0ms
(* (exp (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (exp (* 4 (* b b))))
186.0ms
(+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (+ (* 4 (pow b 2)) (pow a 4)))
177.0ms
(+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))
172.0ms
(* (cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (cbrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)))
148.0ms
(sqrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))

prune747.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize46.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(* (* a b) (* a b))
0.0b
(* 4 (* b b))
0.0b
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))
0.0b
(- (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) 1)

rewrite58.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×pow1
7×add-exp-log
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
6×add-cube-cbrt
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
4×log1p-expm1-u
4×expm1-log1p-u
3×fma-neg
3×fma-def
2×*-commutative
2×associate-*r*
1×flip--
1×fma-udef
1×flip-+
1×cbrt-unprod
1×pow-prod-up
1×associate--l+
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×difference-of-sqr-1
1×flip3--
1×pow-plus
1×flip3-+
1×sub-neg
1×sum-log
1×expm1-def
1×associate-+l+
1×+-commutative
1×pow2
Counts
4 → 65
Calls
4 calls:
Slowest
35.0ms
(- (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) 1)
13.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))
7.0ms
(* (* a b) (* a b))
2.0ms
(* 4 (* b b))

series120.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
47.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))
40.0ms
(- (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) 1)
21.0ms
(* (* a b) (* a b))
11.0ms
(* 4 (* b b))

simplify2.9s

Counts
27 → 77
Calls
27 calls:
Slowest
676.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
235.0ms
(sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
230.0ms
(+ (sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))) 1)
210.0ms
(log (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
209.0ms
(* (exp (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (exp (* 4 (* b b))))

prune1.1s

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize35.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

14.2b
(sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
14.2b
(sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
0.2b
(fma (sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))) (sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))) (- 1))
0.2b
(* (* a b) (* a b))

rewrite8.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×pow1
8×add-sqr-sqrt
6×sqrt-prod
6×add-cube-cbrt
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×expm1-log1p-u
2×sqrt-div
2×pow1/2
2×rem-sqrt-square
1×fma-udef
1×flip-+
1×cbrt-unprod
1×pow-prod-up
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×associate-*r*
1×pow-plus
1×flip3-+
1×pow2
Counts
4 → 58
Calls
4 calls:
Slowest
3.0ms
(* (* a b) (* a b))
3.0ms
(sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
1.0ms
(sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
0.0ms
(fma (sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))) (sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))) (- 1))

series295.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
132.0ms
(fma (sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))) (sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))) (- 1))
82.0ms
(sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
53.0ms
(sqrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
29.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify4.4s

Counts
28 → 70
Calls
28 calls:
Slowest
684.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
440.0ms
(- (+ (pow a 2) (pow b 2)) (* 2 (/ (pow a 2) (pow b 2))))
418.0ms
(sqrt (+ (pow (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) 3) (pow (* 4 (* b b)) 3)))
409.0ms
(- (+ (pow a 2) (pow b 2)) (* 2 (/ (pow a 2) (pow b 2))))
403.0ms
(sqrt (- (* (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (* (* 4 (* b b)) (* 4 (* b b)))))

prune1.7s

Pruning

3 alts after pruning (1 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize55.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

14.9b
(cbrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
14.9b
(cbrt (fma b (fma (* 2 a) (* a b) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
14.2b
(sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
0.3b
(* (fabs (cbrt (fma b (fma (* 2 a) (* a b) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (cbrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))))

rewrite23.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
12×add-sqr-sqrt
11×add-cube-cbrt
11×*-un-lft-identity
9×sqrt-prod
9×associate-*r*
9×cbrt-prod
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×pow1
4×add-log-exp
4×log1p-expm1-u
4×cbrt-div
4×expm1-log1p-u
3×associate-*l*
2×flip-+
2×associate-*r/
2×sqrt-div
2×pow1/3
2×flip3-+
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×pow1/2
1×rem-sqrt-square
Counts
4 → 69
Calls
4 calls:
Slowest
16.0ms
(* (fabs (cbrt (fma b (fma (* 2 a) (* a b) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (cbrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))))
4.0ms
(cbrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
2.0ms
(sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
1.0ms
(cbrt (fma b (fma (* 2 a) (* a b) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))

series657.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
229.0ms
(* (fabs (cbrt (fma b (fma (* 2 a) (* a b) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (cbrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))))
183.0ms
(cbrt (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
172.0ms
(cbrt (fma b (fma (* 2 a) (* a b) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
72.0ms
(sqrt (fma b (fma (* a b) (* 2 a) (* 4 b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))

simplify7.9s

Counts
40 → 81
Calls
40 calls:
Slowest
545.0ms
(cbrt (+ (pow (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) 3) (pow (* 4 (* b b)) 3)))
462.0ms
(cbrt (- (* (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (* (* 4 (* b b)) (* 4 (* b b)))))
425.0ms
(- (+ (pow a 2) (pow b 2)) (* 2 (/ (pow a 2) (pow b 2))))
383.0ms
(sqrt (cbrt (- (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))))
364.0ms
(- (+ (pow a 2) (pow b 2)) (* 2 (/ (pow a 2) (pow b 2))))

prune2.1s

Pruning

3 alts after pruning (0 fresh and 3 done)

Merged error: 0b

regimes112.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch2.0ms

end0.0ms

sample3.8s

Algorithm
intervals