Average Error: 58.1 → 0.7
Time: 42.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original58.1
Target0.2
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 58.1

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Final simplification0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019008 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 41.0s)Debug log

sample740.0ms

Algorithm
intervals

simplify115.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

115.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

prune13.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 58.3b

localize43.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

5.0b
(- (exp (- 0 im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

rewrite51.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
2 → 91
Calls

2 calls. Slowest were:

32.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
17.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

series142.0ms

Counts
2 → 6
Calls

2 calls. Slowest were:

76.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
66.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

simplify9.3s

Counts
88 → 97
Calls

88 calls. Slowest were:

343.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
332.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
323.0ms
(* (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)) (* 0.5 (cos re)))

prune1.2s

Pruning

2 alts after pruning (1 fresh and 1 done)

Merged error: 0.1b

localize30.0ms

Local error

Found 3 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.1b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

rewrite8.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
3 → 42
Calls

3 calls. Slowest were:

5.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
2.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

series149.0ms

Counts
3 → 9
Calls

3 calls. Slowest were:

101.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
28.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
20.0ms
(* (pow im 5) -1/60)

simplify2.3s

Counts
19 → 51
Calls

19 calls. Slowest were:

388.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
332.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
303.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune737.0ms

Pruning

7 alts after pruning (5 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize23.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.5b
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

rewrite7.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 69
Calls

4 calls. Slowest were:

5.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

series570.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

161.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
155.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
135.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
119.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

simplify5.5s

Counts
41 → 81
Calls

41 calls. Slowest were:

523.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
478.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
430.0ms
(+ (* 40/3 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 2))) (+ (* 320/9 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 4))) (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im))))))))

prune1.3s

Pruning

9 alts after pruning (6 fresh and 3 done)

Merged error: 0.0b

localize20.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(cbrt (* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

rewrite5.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 50
Calls

4 calls. Slowest were:

3.0ms
(cbrt (* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

series618.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

171.0ms
(cbrt (* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
161.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
156.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
131.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

simplify3.4s

Counts
22 → 62
Calls

22 calls. Slowest were:

450.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))
350.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))
336.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))

prune1.2s

Pruning

9 alts after pruning (5 fresh and 4 done)

Merged error: 0.0b

regimes476.0ms

Accuracy

0% (0.6b remaining)

Error of 0.7b against oracle of 0.1b and baseline of 0.7b

bsearch4.0ms

end0.0ms

sample13.2s

Algorithm
intervals