Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 39.9s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019010 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 39.4s)Debug log

sample224.0ms

Algorithm
intervals

simplify136.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
135.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

prune14.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize62.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite46.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
9×add-exp-log
9×pow1
8×add-cbrt-cube
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
7×add-sqr-sqrt
6×add-log-exp
6×associate-*r*
4×associate-*r/
4×distribute-lft-in
4×distribute-rgt-in
3×unpow-prod-down
2×flip-+
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×prod-exp
2×pow-prod-down
2×associate-*l*
2×flip3-+
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×unpow2
1×flip--
1×pow-exp
1×flip3--
1×pow-pow
1×sum-log
1×+-commutative
1×pow-to-exp
Counts
4 → 67
Calls
4 calls:
Slowest
27.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
7.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
6.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
5.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

series157.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
85.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
31.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
21.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
20.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify3.7s

Counts
42 → 79
Calls
42 calls:
Slowest
692.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
503.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
299.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))
240.0ms
(* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) 4)
234.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

prune1.1s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize37.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

3.4b
(* (pow a 2) (pow b 2))
1.0b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite86.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
32×associate-*r/
20×frac-add
14×flip-+
14×flip3-+
13×add-log-exp
12×add-exp-log
10×associate-*r*
10×add-cbrt-cube
8×add-cube-cbrt
8×*-un-lft-identity
8×pow1
8×add-sqr-sqrt
6×prod-exp
6×associate-*l*
6×sum-log
5×flip--
5×flip3--
4×distribute-lft-in
4×pow-to-exp
4×distribute-rgt-in
3×cbrt-unprod
3×*-commutative
3×pow-prod-down
2×unpow2
2×sub-neg
2×associate-+r+
1×associate-+l+
1×+-commutative
Counts
4 → 90
Calls
4 calls:
Slowest
65.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
9.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
7.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

series154.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
73.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
32.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
27.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
22.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify9.0s

Counts
75 → 102
Calls
75 calls:
Slowest
797.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
545.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
456.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (- 1 a) (+ 1 (* 3 a)))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (+ 1 (* 3 a))) (* (- 1 a) (* (* b b) (- (* 1 1) (* (* 3 a) (* 3 a)))))))))
432.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (+ (* (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* a a) (+ 1 a))) (- (* (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))) (* (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (pow (* (* a a) (+ 1 a)) 3) (pow (* (* b b) (- 1 (* 3 a))) 3)))))
398.0ms
(* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (- (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))

prune1.5s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize11.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.8b
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
9.8b
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
3.4b
(* (pow a 2) (pow b 2))
3.4b
(* (pow a 2) (pow b 2))

rewrite91.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
56×associate-*r/
40×frac-add
28×sqrt-div
26×flip-+
26×flip3-+
12×add-exp-log
12×add-sqr-sqrt
10×add-cube-cbrt
10×*-un-lft-identity
8×flip--
8×prod-exp
8×associate-*l*
8×associate-*r*
8×add-cbrt-cube
8×flip3--
8×pow-to-exp
6×sqrt-prod
4×add-log-exp
4×unpow2
4×pow1
2×cbrt-unprod
2×*-commutative
2×pow-prod-down
2×pow1/2
2×rem-sqrt-square
Counts
4 → 96
Calls
4 calls:
Slowest
42.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
40.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

series166.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
67.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
65.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
17.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
16.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify6.0s

Counts
70 → 108
Calls
70 calls:
Slowest
332.0ms
(sqrt (+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (- 1 a) (+ 1 (* 3 a)))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (+ 1 (* 3 a))) (* (- 1 a) (* (* b b) (- (* 1 1) (* (* 3 a) (* 3 a))))))))))
326.0ms
(sqrt (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
323.0ms
(sqrt (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
314.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
305.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))

prune2.1s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize18.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

10.4b
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
10.4b
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
10.4b
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
3.4b
(* (pow a 2) (pow b 2))

rewrite75.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
84×associate-*r/
60×frac-add
42×cbrt-div
39×flip-+
39×flip3-+
12×flip--
12×flip3--
9×add-cube-cbrt
9×*-un-lft-identity
9×add-sqr-sqrt
9×cbrt-prod
8×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
4×add-log-exp
4×prod-exp
4×associate-*l*
4×associate-*r*
4×pow1
4×pow-to-exp
3×pow1/3
2×unpow2
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×pow-prod-down
Counts
4 → 97
Calls
4 calls:
Slowest
24.0ms
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
23.0ms
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
23.0ms
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
3.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

series448.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
145.0ms
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
143.0ms
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
142.0ms
(cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
17.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify8.0s

Counts
74 → 109
Calls
74 calls:
Slowest
510.0ms
(cbrt (* (cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) (cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))))
317.0ms
(cbrt (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
317.0ms
(cbrt (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
313.0ms
(cbrt (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
294.0ms
(cbrt (+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (- 1 a) (+ 1 (* 3 a)))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (+ 1 (* 3 a))) (* (- 1 a) (* (* b b) (- (* 1 1) (* (* 3 a) (* 3 a))))))))))

prune2.4s

Pruning

4 alts after pruning (1 fresh and 3 done)

Merged error: 0.0b

regimes93.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample3.7s

Algorithm
intervals