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Derivation

1. Initial program 0.0

   \[\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\]
2. Using strategy rm

3. Applied add-cbrt-cube0.0

   \[\leadsto \left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}}\]

4. Applied add-cbrt-cube0.0

   \[\leadsto \left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

5. Applied add-cbrt-cube0.0

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}}} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

6. Applied cbrt-unprod0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \left(\left(\sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

7. Applied cbrt-unprod0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \left(\left(\sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right)}}\]

8. Simplified0.0

   \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)} \cdot \left(\left(1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right)\right)\right)}}\]
9. Using strategy rm

10. Applied flip--0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)} \cdot \left(\left(1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\right)\right)\right)}\]

11. Applied flip3--0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)} \cdot \left(\left(1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}\right)\right)\right)}\]

12. Applied frac-times0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)} \cdot \left(\left(1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)}}\right)\right)}\]

13. Applied flip-+0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)}{1 - v \cdot \left(-3 \cdot v\right)}} \cdot \frac{\left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)}\right)\right)}\]

14. Applied frac-times0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + v \cdot \left(-3 \cdot v\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{\left(1 - v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)}}\right)}\]

15. Applied flip3-+0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{{1}^{3} + {\left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{\left(1 - v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)}\right)}\]

16. Applied sqrt-div0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{{1}^{3} + {\left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)}^{3}}}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{\left(1 - v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)}\right)}\]

17. Applied frac-times0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{{1}^{3} + {\left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)}^{3}} \cdot \left(\left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(1 - v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\right)}}}\]

18. Simplified0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\left(\left(\left(1 - {v}^{3} \cdot {v}^{3}\right) \cdot \left(1 - {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left({v}^{3} \cdot -27\right) \cdot {v}^{3}}}}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(1 - v \cdot \left(-3 \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\right)}}\]

19. Simplified0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}{16}\right) \cdot \frac{\left(\left(\left(1 - {v}^{3} \cdot {v}^{3}\right) \cdot \left(1 - {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left({v}^{3} \cdot -27\right) \cdot {v}^{3}}}{\color{blue}{\left(\left(v \cdot \left(v \cdot 3\right) + 1\right) \cdot \left(\left(v \cdot v + 1\right) \cdot \left(v \cdot v + 1\right) + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v + 1\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\left(-3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - \left(-1 + -3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}}\]

20. Final simplification0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\left(\left(1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(9 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - {v}^{3} \cdot {v}^{3}\right) \cdot \left(1 - {v}^{4}\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {v}^{3} \cdot \left(-27 \cdot {v}^{3}\right)}}{\left(\left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v + 1\right) \cdot \left(\left(1 + v \cdot v\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right) + \left(1 + v \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\left(-3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - \left(-1 + -3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{16}\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019010 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 2"
  (* (* (/ (sqrt 2) 4) (sqrt (- 1 (* 3 (* v v))))) (- 1 (* v v))))

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