Average Error: 52.6 → 0.2
Time: 21.1s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{c \cdot -4}{\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)} + b\right)}{a}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 52.6

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Simplified52.6

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b}{2 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--52.6

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}}{2 \cdot a}\]

  5. Applied associate-/l/52.6

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  6. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied associate-/l*0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -4}{\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}{a}}}\]

  9. Final simplification0.2

    \[\leadsto \frac{c \cdot -4}{\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)} + b\right)}{a}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019010 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 20.3s)Debug log

sample320.0ms

Algorithm
intervals

simplify92.0ms

Counts
1 → 1
Calls
1 calls:
Slowest
92.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a))

prune21.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 50.6b

localize43.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

25.5b
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
0.0b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite89.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
8×add-sqr-sqrt
7×add-cube-cbrt
7×*-un-lft-identity
6×add-log-exp
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
4×flip--
4×flip3--
4×pow1
3×associate-/l*
3×sqrt-prod
3×times-frac
2×associate-/l/
2×sqrt-div
2×sub-neg
1×div-inv
1×div-exp
1×div-sub
1×diff-log
1×pow1/2
1×frac-2neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×rem-sqrt-square
1×cbrt-undiv
Counts
4 → 59
Calls
4 calls:
Slowest
52.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
25.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))
4.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

series236.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
84.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
70.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
41.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))
41.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

simplify2.1s

Counts
32 → 71
Calls
32 calls:
Slowest
330.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)))
313.0ms
(- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b))
174.0ms
(- (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3))
156.0ms
(sqrt (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))))
137.0ms
(- b (* 2 (/ (* a c) b)))

prune821.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize28.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

rewrite47.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
11×add-exp-log
11×add-cbrt-cube
6×add-log-exp
6×pow1
5×add-cube-cbrt
5×*-un-lft-identity
5×add-sqr-sqrt
4×associate-*r/
3×flip-+
3×associate-*r*
3×flip3-+
2×cbrt-unprod
2×associate-/r/
2×prod-exp
2×div-exp
2×cbrt-undiv
1×associate-/l*
1×flip--
1×div-inv
1×*-commutative
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×flip3--
1×times-frac
1×distribute-lft-in
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×associate-/r*
1×clear-num
1×+-commutative
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 60
Calls
4 calls:
Slowest
16.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
15.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
12.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series322.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
145.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
77.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
58.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
42.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify3.7s

Counts
33 → 72
Calls
33 calls:
Slowest
1.0s
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
884.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
300.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
285.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
146.0ms
(- (log (* (* c -4) a)) (log (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))

prune884.0ms

Pruning

7 alts after pruning (7 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize13.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) a)
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

rewrite57.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
6×add-log-exp
6×add-exp-log
6×add-cbrt-cube
6×pow1
5×add-cube-cbrt
5×*-un-lft-identity
5×add-sqr-sqrt
4×associate-*r/
3×flip-+
3×associate-*r*
3×flip3-+
2×associate-/l/
1×associate-/l*
1×flip--
1×div-inv
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×flip3--
1×distribute-lft-in
1×frac-2neg
1×sub-neg
1×clear-num
1×+-commutative
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 54
Calls
4 calls:
Slowest
28.0ms
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) a)
17.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
9.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series255.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
103.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
59.0ms
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) a)
57.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
36.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify1.5s

Counts
26 → 66
Calls
26 calls:
Slowest
326.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
175.0ms
(* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
156.0ms
(* (* 2 a) (- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b)))
119.0ms
(- (* 2 b) (* 2 (/ (* a c) b)))
116.0ms
(* (* 2 a) (+ (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3)))

prune849.0ms

Pruning

6 alts after pruning (5 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(/ a (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.2b
(/ 1 (/ a (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

rewrite29.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Rules
7×add-exp-log
7×associate-/r*
7×pow1
6×add-log-exp
6×add-cube-cbrt
6×associate-*r/
6×add-cbrt-cube
6×*-un-lft-identity
6×add-sqr-sqrt
5×associate-/r/
3×div-inv
3×flip-+
3×associate-*r*
3×flip3-+
2×frac-2neg
2×clear-num
1×inv-pow
1×flip--
1×pow-flip
1×cbrt-unprod
1×*-commutative
1×prod-exp
1×pow-prod-down
1×associate-*l*
1×diff-log
1×flip3--
1×distribute-lft-in
1×sub-neg
1×rec-exp
1×distribute-rgt-in
Counts
4 → 64
Calls
4 calls:
Slowest
18.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
4.0ms
(/ a (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
4.0ms
(/ 1 (/ a (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
2.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series270.0ms

Counts
4 → 12
Calls
4 calls:
Slowest
94.0ms
(/ a (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
80.0ms
(/ 1 (/ a (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
70.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
26.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.2s

Counts
34 → 76
Calls
34 calls:
Slowest
359.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
301.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
262.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
160.0ms
(* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
96.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))

prune1.0s

Pruning

6 alts after pruning (4 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

regimes207.0ms

Accuracy

0% (0.2b remaining)

Error of 0.2b against oracle of 0.0b and baseline of 0.2b

bsearch2.0ms

end0.0ms

sample5.2s

Algorithm
intervals