Average Error: 43.8 → 0.2
Time: 1.1m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Initial program 43.8

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip-+43.8

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}}{3 \cdot a}\]

  4. Applied associate-/l/43.8

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}\]

  5. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied associate-/r*0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{3 \cdot \left(c \cdot a\right)}{3 \cdot a}}{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}}\]

  8. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{3 \cdot \left(c \cdot a\right)}{3 \cdot a}}{\color{blue}{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}\]

  9. Taylor expanded around -inf 0.2

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{c}}{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}\]

  10. Final simplification0.2

    \[\leadsto \frac{c}{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -3\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019007 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))

Details

Time bar (total: 1.1m)Debug log

sample181.0ms

Algorithm
intervals

simplify64.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

64.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))

prune10.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 46.1b

localize39.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

41.5b
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
0.3b
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
0.2b
(* (* 3 a) c)
0.1b
(- (* b b) (* (* 3 a) c))

rewrite67.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 72
Calls

4 calls. Slowest were:

36.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
12.0ms
(* (* 3 a) c)
11.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))

series180.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

73.0ms
(+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))
69.0ms
(/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a))
26.0ms
(- (* b b) (* (* 3 a) c))
11.0ms
(* (* 3 a) c)

simplify1.8s

Counts
34 → 84
Calls

34 calls. Slowest were:

418.0ms
(- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
168.0ms
(+ (pow (- b) 3) (pow (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))) 3))
133.0ms
(/ (* (* (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)))

prune990.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
0.3b
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
0.3b
(* 3 (* c a))
0.2b
(* (* 3 a) c)

rewrite48.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 117
Calls

4 calls. Slowest were:

27.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
16.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
2.0ms
(* (* 3 a) c)

series248.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

142.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))))
85.0ms
(* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))
11.0ms
(* (* 3 a) c)
11.0ms
(* 3 (* c a))

simplify18.5s

Counts
84 → 129
Calls

84 calls. Slowest were:

2.1s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)) (* (* (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
1.7s
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))) (* (* 3 a) (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))
574.0ms
(* (* 3 a) (fma (- (sqrt (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c))))) (sqrt (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* (sqrt (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (sqrt (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))))))

prune1.6s

Pruning

8 alts after pruning (8 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize33.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(/ (* 3 (* c a)) (* 3 a))
0.3b
(* 3 (* c a))
0.1b
(/ (/ (* 3 (* c a)) (* 3 a)) (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
0.1b
(fma (* a -3) c (* b b))

rewrite21.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 98
Calls

4 calls. Slowest were:

10.0ms
(/ (/ (* 3 (* c a)) (* 3 a)) (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
8.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* 3 a))
1.0ms
(* 3 (* c a))

series212.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

149.0ms
(/ (/ (* 3 (* c a)) (* 3 a)) (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
48.0ms
(fma (* a -3) c (* b b))
10.0ms
(* 3 (* c a))
4.0ms
(/ (* 3 (* c a)) (* 3 a))

simplify28.7s

Counts
93 → 110
Calls

93 calls. Slowest were:

1.7s
(/ (/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a))) (* (* (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))) (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))) (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))))
912.0ms
(/ (* (* (/ (* 3 (* c a)) (* 3 a)) (/ (* 3 (* c a)) (* 3 a))) (/ (* 3 (* c a)) (* 3 a))) (* (* (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))) (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))) (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))))
903.0ms
(/ (* (* (* 3 (* c a)) (* 3 (* c a))) (* 3 (* c a))) (* (* (* 3 a) (* 3 a)) (* 3 a)))

prune1.3s

Pruning

5 alts after pruning (5 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize7.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(/ c (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
0.1b
(fma (* a -3) c (* b b))
0.1b
(- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))
0.0b
(sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))

rewrite19.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 90
Calls

4 calls. Slowest were:

9.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))
6.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
2.0ms
(sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))

series276.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

149.0ms
(/ c (- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))))
53.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))
42.0ms
(sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))
31.0ms
(fma (* a -3) c (* b b))

simplify3.3s

Counts
80 → 102
Calls

80 calls. Slowest were:

589.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b)))) (* (- b) (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))))))
75.0ms
(- (* 3/2 (/ (* a c) b)) (* 2 b))
67.0ms
(fma (* (cbrt (- b)) (cbrt (- b))) (cbrt (- b)) (- (* (sqrt (fma (* a -3) c (* b b))) 1)))

prune1.1s

Pruning

5 alts after pruning (4 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes171.0ms

Accuracy

0% (0.1b remaining)

Error of 0.2b against oracle of 0.0b and baseline of 0.2b

bsearch1.0ms

end0.0ms

sample5.2s

Algorithm
intervals