Average Error: 43.5 → 0.7
Time: 44.3s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.5
Target0.3
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 43.5

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Final simplification0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019007 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 42.7s)Debug log

sample318.0ms

Algorithm
intervals

simplify202.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

202.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

prune6.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 46.7b

localize36.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

7.7b
(- (exp (- im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

rewrite26.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
2 → 71
Calls

2 calls. Slowest were:

15.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
10.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

series163.0ms

Counts
2 → 6
Calls

2 calls. Slowest were:

122.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
41.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

simplify6.2s

Counts
62 → 77
Calls

62 calls. Slowest were:

533.0ms
(* (fma (- (sqrt (exp im))) (sqrt (exp im)) (* (sqrt (exp im)) (sqrt (exp im)))) (* 0.5 (sin re)))
345.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
339.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))

prune921.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize38.0ms

Local error

Found 3 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.0b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

rewrite15.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
3 → 42
Calls

3 calls. Slowest were:

10.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

series209.0ms

Counts
3 → 9
Calls

3 calls. Slowest were:

136.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
39.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
33.0ms
(* (pow im 5) -1/60)

simplify2.3s

Counts
19 → 51
Calls

19 calls. Slowest were:

453.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
305.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
298.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune804.0ms

Pruning

8 alts after pruning (7 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize17.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.7b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.5b
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

rewrite7.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 69
Calls

4 calls. Slowest were:

5.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

series581.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

160.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
146.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
145.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
130.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

simplify5.3s

Counts
41 → 81
Calls

41 calls. Slowest were:

487.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
477.0ms
(+ (* 40/3 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 2))) (+ (* 320/9 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 4))) (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im))))))))
470.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))

prune1.4s

Pruning

8 alts after pruning (6 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize21.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

11.9b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
11.9b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
11.9b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.4b
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))

rewrite42.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

24.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

series1.2s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

368.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
292.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
286.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
283.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

simplify8.5s

Counts
31 → 71
Calls

31 calls. Slowest were:

516.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
504.0ms
(* (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
471.0ms
(sqrt (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))

prune1.2s

Pruning

10 alts after pruning (7 fresh and 3 done)

Merged error: 0.0b

regimes494.0ms

Accuracy

0% (0.6b remaining)

Error of 0.7b against oracle of 0.1b and baseline of 0.7b

bsearch2.0ms

end0.0ms

sample12.7s

Algorithm
intervals