Average Error: 33.3 → 25.5
Time: 1.5m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \le -3.0609677896932 \cdot 10^{-312}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot n} \cdot \sqrt{\left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus n

Bits error versus U

Bits error versus t

Bits error versus l

Bits error versus Om

Bits error versus U*

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if n < -3.0609677896932e-312

    1. Initial program 33.3

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow230.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*29.9

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied associate-*l*29.5

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied associate-*l*29.2

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\right)\right)}\]

    if -3.0609677896932e-312 < n

    1. Initial program 33.3

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.6

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow230.6

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*29.7

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied associate-*l*29.0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied sqrt-prod21.9

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{2 \cdot n} \cdot \sqrt{U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification25.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \le -3.0609677896932 \cdot 10^{-312}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot n} \cdot \sqrt{\left(\left(t - \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}} \cdot 2\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019007 +o rules:numerics
(FPCore (n U t l Om U*)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (13)"
  (sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))

Details

Time bar (total: 1.5m)Debug log

sample442.0ms

Algorithm
intervals

simplify116.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

115.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune25.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 33.1b

localize84.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

20.7b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
9.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
8.9b
(/ (* l l) Om)
6.9b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

rewrite64.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 90
Calls

4 calls. Slowest were:

31.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
21.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
6.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

series1.7s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.3s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
376.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
77.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
17.0ms
(/ (* l l) Om)

simplify9.9s

Counts
58 → 102
Calls

58 calls. Slowest were:

601.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
597.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
537.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))

prune2.6s

Pruning

12 alts after pruning (12 fresh and 0 done)

Merged error: 22.4b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

20.7b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
9.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
6.9b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
4.6b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite55.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 95
Calls

4 calls. Slowest were:

33.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
12.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
6.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

series1.5s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.1s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
281.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
81.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
41.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify10.8s

Counts
66 → 107
Calls

66 calls. Slowest were:

629.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
549.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
448.0ms
(+ (log (* (* 2 n) U)) (log (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune2.0s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 21.0b

localize16.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

20.7b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
9.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
6.9b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
5.2b
(* n (/ l Om))

rewrite79.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 140
Calls

4 calls. Slowest were:

32.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
23.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
16.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))

series1.7s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.3s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
317.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
116.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
21.0ms
(* n (/ l Om))

simplify23.1s

Counts
117 → 152
Calls

117 calls. Slowest were:

661.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) Om) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n (/ l Om)) l) (- U U*))))))
598.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))))
543.0ms
(* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) Om)

prune3.1s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 19.9b

localize9.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

20.7b
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
6.9b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
6.3b
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
5.2b
(* n (/ l Om))

rewrite92.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 152
Calls

4 calls. Slowest were:

41.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
36.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
10.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

series1.7s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
353.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
94.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
21.0ms
(* n (/ l Om))

simplify19.6s

Counts
128 → 164
Calls

128 calls. Slowest were:

457.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) l) (- U U*))
419.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) (/ l Om)) (- (pow U 3) (pow U* 3))))))))
416.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* (* Om Om) (+ U U*))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) l) (- (* U U) (* U* U*))))))))

prune2.2s

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 15.4b

regimes707.0ms

Accuracy

28.9% (8.6b remaining)

Error of 25.5b against oracle of 16.9b and baseline of 29.0b

bsearch330.0ms

end0.0ms

sample6.1s

Algorithm
intervals