Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 31.3s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around 0 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019007 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 30.7s)Debug log

sample263.0ms

Algorithm
intervals

simplify154.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

154.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

prune18.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize70.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

rewrite129.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 67
Calls

4 calls. Slowest were:

109.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
7.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
6.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series169.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

70.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
36.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
33.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
30.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify3.8s

Counts
41 → 79
Calls

41 calls. Slowest were:

895.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
520.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
430.0ms
(+ (sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) 1)

prune1.0s

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize27.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.2b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.6b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(- (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

rewrite327.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 75
Calls

4 calls. Slowest were:

310.0ms
(- (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
7.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
6.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

series164.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

88.0ms
(- (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
29.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
27.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
20.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

simplify4.0s

Counts
47 → 87
Calls

47 calls. Slowest were:

891.0ms
(+ (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) 1)
790.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
565.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))

prune1.5s

Pruning

2 alts after pruning (1 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize46.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

8.1b
(sqrt (+ (* (* b b) (+ (* 2 (* a a)) (+ (* a -12) 4))) (+ (* (+ (* a a) a) (* a 4)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))
8.1b
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
2.2b
(* (pow a 2) (pow b 2))
1.1b
(* (* b b) (+ (* 2 (* a a)) (+ (* a -12) 4)))

rewrite137.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 93
Calls

4 calls. Slowest were:

55.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
52.0ms
(sqrt (+ (* (* b b) (+ (* 2 (* a a)) (+ (* a -12) 4))) (+ (* (+ (* a a) a) (* a 4)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))
20.0ms
(* (* b b) (+ (* 2 (* a a)) (+ (* a -12) 4)))

series243.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

92.0ms
(sqrt (+ (* (* b b) (+ (* 2 (* a a)) (+ (* a -12) 4))) (+ (* (+ (* a a) a) (* a 4)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))
90.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
33.0ms
(* (* b b) (+ (* 2 (* a a)) (+ (* a -12) 4)))
27.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify9.4s

Counts
69 → 105
Calls

69 calls. Slowest were:

508.0ms
(sqrt (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
472.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
449.0ms
(sqrt (* (cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) (cbrt (+ (+ (pow b 4) (+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))))

prune3.8s

Pruning

2 alts after pruning (0 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes82.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch6.0ms

end0.0ms

sample5.4s

Algorithm
intervals