Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 25.7s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019007 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 25.2s)Debug log

sample230.0ms

Algorithm
intervals

simplify124.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

124.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

prune16.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize74.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

rewrite151.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 67
Calls

4 calls. Slowest were:

140.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series191.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

95.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
40.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
33.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
23.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

simplify3.8s

Counts
41 → 79
Calls

41 calls. Slowest were:

921.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
534.0ms
(+ (sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) 1)
493.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))

prune989.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize56.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.2b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.6b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(- (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

rewrite318.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 75
Calls

4 calls. Slowest were:

300.0ms
(- (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
6.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
6.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

series193.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

92.0ms
(- (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)
39.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
35.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
26.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify3.0s

Counts
47 → 87
Calls

47 calls. Slowest were:

564.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
393.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
337.0ms
(+ (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) 1)

prune1.2s

Pruning

2 alts after pruning (1 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize45.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

8.1b
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
8.1b
(sqrt (+ (+ (+ (pow b 4) (pow a 4)) (* (* b b) (+ 4 (* -12 a)))) (* (* a a) (+ (* (* 2 b) b) (+ 4 (* 4 a))))))
2.2b
(* (pow a 2) (pow b 2))
1.1b
(* (* a a) (+ (* (* 2 b) b) (+ 4 (* 4 a))))

rewrite152.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 93
Calls

4 calls. Slowest were:

86.0ms
(sqrt (+ (+ (+ (pow b 4) (pow a 4)) (* (* b b) (+ 4 (* -12 a)))) (* (* a a) (+ (* (* 2 b) b) (+ 4 (* 4 a))))))
44.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
14.0ms
(* (* a a) (+ (* (* 2 b) b) (+ 4 (* 4 a))))

series261.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

99.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
97.0ms
(sqrt (+ (+ (+ (pow b 4) (pow a 4)) (* (* b b) (+ 4 (* -12 a)))) (* (* a a) (+ (* (* 2 b) b) (+ 4 (* 4 a))))))
38.0ms
(* (* a a) (+ (* (* 2 b) b) (+ 4 (* 4 a))))
26.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify7.1s

Counts
69 → 105
Calls

69 calls. Slowest were:

585.0ms
(sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
417.0ms
(sqrt (sqrt (+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
397.0ms
(sqrt (+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (- 1 a) (+ 1 (* 3 a)))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (+ 1 (* 3 a))) (* (- 1 a) (* (* b b) (- (* 1 1) (* (* 3 a) (* 3 a))))))))))

prune2.8s

Pruning

2 alts after pruning (0 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes104.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch6.0ms

end0.0ms

sample4.4s

Algorithm
intervals