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Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -7.930209359935956e+107

   1. Initial program 60.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+60.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/60.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div60.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified44.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   7. Taylor expanded around -inf 21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

   if -7.930209359935956e+107 < re < -7.47449967617973e-299

   1. Initial program 37.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+37.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/37.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div38.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified30.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied clear-num30.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}}\]

   if -7.47449967617973e-299 < re < 4.877487741178766e+95

   1. Initial program 20.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 4.877487741178766e+95 < re

   1. Initial program 49.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 10.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification22.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.930209359935956 \cdot 10^{+107}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -7.47449967617973 \cdot 10^{-299}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.877487741178766 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019007 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

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