Average Error: 43.5 → 0.8
Time: 42.9s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.5
Target0.3
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 43.5

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Final simplification0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019005 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 41.4s)Debug log

sample343.0ms

Algorithm
intervals

simplify219.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

219.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

prune13.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 43.9b

localize29.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

7.6b
(- (exp (- im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

rewrite24.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
2 → 71
Calls

2 calls. Slowest were:

15.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
8.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

series167.0ms

Counts
2 → 6
Calls

2 calls. Slowest were:

126.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
41.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

simplify5.8s

Counts
62 → 77
Calls

62 calls. Slowest were:

290.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
278.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
262.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune803.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.1b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma -1/3 (* im im) -2)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

rewrite13.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 52
Calls

4 calls. Slowest were:

7.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)

series240.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

144.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
37.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)
34.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
25.0ms
(* (pow im 5) -1/60)

simplify2.3s

Counts
22 → 64
Calls

22 calls. Slowest were:

503.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
319.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
294.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune912.0ms

Pruning

7 alts after pruning (6 fresh and 1 done)

Merged error: 0.1b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

14.7b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
14.7b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
14.7b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.5b
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))

rewrite21.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

12.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
3.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
3.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

series1.4s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

411.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
331.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
316.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
312.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

simplify8.8s

Counts
31 → 71
Calls

31 calls. Slowest were:

864.0ms
(* (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
496.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
485.0ms
(* (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

prune1.2s

Pruning

9 alts after pruning (8 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize30.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

14.7b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
14.7b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.6b
(cbrt (* 0.5 (sin re)))
0.6b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 46
Calls

4 calls. Slowest were:

6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
2.0ms
(cbrt (* 0.5 (sin re)))

series1.2s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

383.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
381.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
254.0ms
(cbrt (* 0.5 (sin re)))
176.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

simplify3.2s

Counts
18 → 58
Calls

18 calls. Slowest were:

461.0ms
(- (+ (* 1/18 (* (cbrt 0.5) (* (pow im 2) (exp (* 1/3 (+ (log im) (+ (log -2) (log re)))))))) (* (cbrt 0.5) (exp (* 1/3 (+ (log im) (+ (log -2) (log re))))))) (* 1/18 (* (pow re 2) (* (cbrt 0.5) (exp (* 1/3 (+ (log im) (+ (log -2) (log re)))))))))
423.0ms
(- (+ (* 1/18 (* (cbrt 0.5) (* (pow im 2) (exp (* 1/3 (+ (log im) (+ (log -2) (log re)))))))) (* (cbrt 0.5) (exp (* 1/3 (+ (log im) (+ (log -2) (log re))))))) (* 1/18 (* (pow re 2) (* (cbrt 0.5) (exp (* 1/3 (+ (log im) (+ (log -2) (log re)))))))))
407.0ms
(- (* (pow re 1/3) (cbrt 0.5)) (+ (* 1/18 (* (pow (pow re 7) 1/3) (cbrt 0.5))) (* 1/3240 (* (pow (pow re 13) 1/3) (cbrt 0.5)))))

prune1.2s

Pruning

9 alts after pruning (8 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

regimes465.0ms

Accuracy

0% (0.7b remaining)

Error of 0.8b against oracle of 0.1b and baseline of 0.8b

bsearch2.0ms

end0.0ms

sample13.1s

Algorithm
intervals