Average Error: 58.1 → 0.7
Time: 48.0s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original58.1
Target0.2
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 58.1

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Final simplification0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019005 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 46.2s)Debug log

sample345.0ms

Algorithm
intervals

simplify208.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

208.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

prune12.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 58.4b

localize38.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

7.6b
(- (exp (- 0 im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

rewrite56.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
2 → 91
Calls

2 calls. Slowest were:

37.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
16.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

series188.0ms

Counts
2 → 6
Calls

2 calls. Slowest were:

123.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
64.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

simplify9.4s

Counts
88 → 97
Calls

88 calls. Slowest were:

352.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))
322.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
307.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))

prune1.2s

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize20.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.1b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma -1/3 (* im im) -2)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 52
Calls

4 calls. Slowest were:

10.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)

series242.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

144.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
39.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
36.0ms
(fma -1/3 (* im im) -2)
22.0ms
(* (pow im 5) -1/60)

simplify2.5s

Counts
22 → 64
Calls

22 calls. Slowest were:

413.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
307.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
288.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune792.0ms

Pruning

7 alts after pruning (6 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize13.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.6b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.6b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.5b
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

rewrite14.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 69
Calls

4 calls. Slowest were:

10.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

series612.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

164.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
159.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
145.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
143.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

simplify5.6s

Counts
41 → 81
Calls

41 calls. Slowest were:

514.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
487.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
428.0ms
(+ (* 40/3 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 2))) (+ (* 320/9 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 4))) (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im))))))))

prune1.2s

Pruning

10 alts after pruning (8 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize21.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.6b
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.6b
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.5b
(* (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))

rewrite43.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

24.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

543.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
350.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
332.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
327.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

simplify7.8s

Counts
31 → 71
Calls

31 calls. Slowest were:

521.0ms
(* (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
506.0ms
(* (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
499.0ms
(+ (log (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))) (log (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))))

prune915.0ms

Pruning

11 alts after pruning (8 fresh and 3 done)

Merged error: 0.0b

regimes497.0ms

Accuracy

0% (0.7b remaining)

Error of 0.7b against oracle of 0.1b and baseline of 0.7b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample12.9s

Algorithm
intervals