Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 3.8m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(\left({a}^{4} + 2 \cdot e^{\log \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right)}\right) + {b}^{4}\right) + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(a + 3\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-exp-log0.0

    \[\leadsto \left(\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \color{blue}{e^{\log \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)}}\right)\right) + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  5. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(\left({a}^{4} + 2 \cdot e^{\log \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right)}\right) + {b}^{4}\right) + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(a + 3\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019005 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1))

Details

Time bar (total: 3.8m)Debug log

sample261.0ms

Algorithm
intervals

simplify134.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

134.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1)

prune7.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize39.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.1b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.4b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite30.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 67
Calls

4 calls. Slowest were:

17.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
4.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
4.0ms
(* (* a a) (- 1 a))

series154.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

72.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
36.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
25.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
22.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify2.3s

Counts
42 → 79
Calls

42 calls. Slowest were:

408.0ms
(* (exp (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (exp (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
381.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
263.0ms
(* 4 (* (* b b) (+ 3 a)))

prune939.0ms

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize29.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.7b
(* (pow a 2) (pow b 2))
1.1b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite91.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 90
Calls

4 calls. Slowest were:

71.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
8.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
6.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

series148.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

76.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
26.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
23.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
23.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify7.5s

Counts
75 → 102
Calls

75 calls. Slowest were:

529.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
494.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
453.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (+ 1 a) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (- 3 a)) (* (+ 1 a) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))

prune1.4s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

38.3b
(log (* (pow a 2) (pow b 2)))
2.7b
(* (pow a 2) (pow b 2))
2.1b
(exp (log (* (pow a 2) (pow b 2))))
1.1b
(* (* b b) (+ 3 a))

rewrite21.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 70
Calls

4 calls. Slowest were:

9.0ms
(exp (log (* (pow a 2) (pow b 2))))
4.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
4.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

series114.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

45.0ms
(log (* (pow a 2) (pow b 2)))
29.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
23.0ms
(exp (log (* (pow a 2) (pow b 2))))
17.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify712.0ms

Counts
46 → 82
Calls

46 calls. Slowest were:

110.0ms
(- (+ (* 2 (log (/ -1 a))) (* 2 (log (/ -1 b)))))
104.0ms
(* (* (* (pow a 2) (pow a 2)) (pow a 2)) (* (* (pow b 2) (pow b 2)) (pow b 2)))
87.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (+ 3 a) (+ 3 a)) (+ 3 a)))

prune1.1s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

32.1b
(/ (- (* (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))) (- (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
3.8b
(- (* (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
2.7b
(* (pow a 2) (pow b 2))
2.7b
(* (pow a 2) (pow b 2))

rewrite308.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 879
Calls

4 calls. Slowest were:

159.0ms
(/ (- (* (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))) (- (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
72.0ms
(- (* (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
4.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

series716.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

468.0ms
(/ (- (* (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))) (- (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
215.0ms
(- (* (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
17.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
16.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify2.9m

Counts
1244 → 891
Calls

1244 calls. Slowest were:

841.0ms
(* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (* (+ 1 a) (+ (* 3 3) (- (* a a) (* 3 a)))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (+ (* 3 3) (- (* a a) (* 3 a))))))
707.0ms
(* (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (+ (* 3 3) (- (* a a) (* 3 a))))))
639.0ms
(* (* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (* (+ 1 a) (+ (* 3 3) (- (* a a) (* 3 a)))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (+ (* 3 3) (- (* a a) (* 3 a))))))

prune35.0s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

regimes89.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch4.0ms

end0.0ms

sample3.4s

Algorithm
intervals