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Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < -4.83216196722596e+96 or -4.822064075697262e-20 < im < 2.0164282822791598e-135

   1. Initial program 33.3

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

   2. Simplified33.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base}{\log base \cdot \log base}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied times-frac33.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base} \cdot \frac{\log base}{\log base}}\]

   5. Simplified33.2

      \[\leadsto \frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base} \cdot \color{blue}{1}\]

   6. Taylor expanded around -inf 22.7

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(-1 \cdot re\right)}}{\log base} \cdot 1\]

   7. Simplified22.7

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(-re\right)}}{\log base} \cdot 1\]

   if -4.83216196722596e+96 < im < -4.822064075697262e-20

   1. Initial program 15.6

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

   2. Simplified15.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base}{\log base \cdot \log base}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied times-frac15.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base} \cdot \frac{\log base}{\log base}}\]

   5. Simplified15.5

      \[\leadsto \frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base} \cdot \color{blue}{1}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-cube-cbrt15.5

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}{\log base} \cdot 1\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied pow1/315.5

      \[\leadsto \frac{\log \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{3}}}\right)}{\log base} \cdot 1\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied add-sqr-sqrt15.5

       \[\leadsto \frac{\log \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right) \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}{\log base} \cdot 1\]

   12. Applied sqrt-prod15.5

       \[\leadsto \frac{\log \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right) \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}{\log base} \cdot 1\]

   if 2.0164282822791598e-135 < im < 3.401373965950837e+105

   1. Initial program 15.0

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

   2. Simplified15.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base}{\log base \cdot \log base}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied times-frac14.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base} \cdot \frac{\log base}{\log base}}\]

   5. Simplified14.9

      \[\leadsto \frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base} \cdot \color{blue}{1}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-cube-cbrt14.9

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}{\log base} \cdot 1\]

   if 3.401373965950837e+105 < im

   1. Initial program 51.3

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

   2. Simplified51.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base}{\log base \cdot \log base}}\]

   3. Taylor expanded around 0 8.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log im}{\log base}}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification18.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -4.83216196722596 \cdot 10^{+96}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.822064075697262 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.0164282822791598 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;im \le 3.401373965950837 \cdot 10^{+105}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\log im}{\log base}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019005 
(FPCore (re im base)
  :name "math.log/2 on complex, real part"
  (/ (+ (* (log (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) (log base)) (* (atan2 im re) 0)) (+ (* (log base) (log base)) (* 0 0))))

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