Average Error: 33.4 → 28.7
Time: 1.5m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 1.7330353814957823 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sqrt{(\left(\left(-n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\left(U - U*\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) + \left(\left(\ell \cdot -2\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right))_* \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) + \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(U - U*\right) \cdot \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus n

Bits error versus U

Bits error versus t

Bits error versus l

Bits error versus Om

Bits error versus U*

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if t < 1.7330353814957823e-196

    1. Initial program 33.9

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*31.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow231.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*30.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sub-neg30.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(t + \left(-2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right)\right)} - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    9. Applied associate--l+30.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \color{blue}{\left(t + \left(\left(-2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]

    10. Applied distribute-lft-in30.1

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t + \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}\]

    11. Simplified29.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot (\left(\left(-n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right) + \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(\ell \cdot -2\right)\right))_*}}\]

    if 1.7330353814957823e-196 < t

    1. Initial program 32.8

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow230.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*29.7

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod27.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U} \cdot \sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification28.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 1.7330353814957823 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sqrt{(\left(\left(-n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\left(U - U*\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) + \left(\left(\ell \cdot -2\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right))_* \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) + \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(U - U*\right) \cdot \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019004 +o rules:numerics
(FPCore (n U t l Om U*)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (13)"
  (sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))

Details

Time bar (total: 1.5m)Debug log

sample322.0ms

Algorithm
intervals

simplify86.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

86.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune10.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 33.9b

localize51.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
9.4b
(/ (* l l) Om)
7.5b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite45.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 85
Calls

4 calls. Slowest were:

27.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
13.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
2.0ms
(/ (* l l) Om)

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
340.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
42.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))
15.0ms
(/ (* l l) Om)

simplify7.3s

Counts
54 → 97
Calls

54 calls. Slowest were:

876.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
545.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
435.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))

prune1.3s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 21.1b

localize21.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
7.5b
(* n (pow (/ l Om) 2))
6.7b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

rewrite56.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 95
Calls

4 calls. Slowest were:

24.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
14.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
13.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

series1.3s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

992.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
247.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
66.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
29.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify10.0s

Counts
66 → 107
Calls

66 calls. Slowest were:

549.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
460.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
454.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))

prune2.0s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 20.3b

localize39.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
6.7b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
4.4b
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))

rewrite104.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 174
Calls

4 calls. Slowest were:

44.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
34.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
13.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

series1.9s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.3s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
312.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
218.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))
93.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

simplify40.1s

Counts
170 → 186
Calls

170 calls. Slowest were:

776.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* (* Om Om) (+ U U*))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) l) (- (* U U) (* U* U*)))))))
696.0ms
(+ (+ (log (* n (/ l Om))) (log (/ l Om))) (log (- U U*)))
648.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))))

prune3.9s

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 18.4b

localize38.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (+ (* (* (* 2 n) U) t) (* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))))
11.6b
(* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))
6.5b
(* (/ l Om) (- U U*))
3.9b
(fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2)))

rewrite24.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 75
Calls

4 calls. Slowest were:

8.0ms
(* (/ l Om) (- U U*))
8.0ms
(* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))
7.0ms
(sqrt (+ (* (* (* 2 n) U) t) (* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))))

series1.1s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

699.0ms
(sqrt (+ (* (* (* 2 n) U) t) (* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))))
202.0ms
(* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))
129.0ms
(fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2)))
59.0ms
(* (/ l Om) (- U U*))

simplify5.6s

Counts
47 → 87
Calls

47 calls. Slowest were:

375.0ms
(* (* (* 2 n) U) (* (/ l Om) (* l -2)))
338.0ms
(* (* (/ l Om) (* l -2)) (* (* 2 n) U))
317.0ms
(+ (/ (* n (* U* l)) (* (sqrt -2) Om)) (+ (/ (* (sqrt -2) (* U (* n l))) Om) (* 1/2 (/ (* U* l) (* U (sqrt -1/2))))))

prune1.7s

Pruning

15 alts after pruning (14 fresh and 1 done)

Merged error: 15.5b

regimes1.3s

Accuracy

9.2% (11.2b remaining)

Error of 28.7b against oracle of 17.5b and baseline of 29.8b

bsearch626.0ms

end0.0ms

sample9.4s

Algorithm
intervals