Average Error: 58.0 → 0.8
Time: 48.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original58.0
Target0.3
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 58.0

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Final simplification0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot (im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019004 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 46.2s)Debug log

sample351.0ms

Algorithm
intervals

simplify187.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

187.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

prune13.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 57.9b

localize35.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

6.9b
(- (exp (- 0 im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))

rewrite24.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
2 → 91
Calls

2 calls. Slowest were:

15.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
8.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

series131.0ms

Counts
2 → 6
Calls

2 calls. Slowest were:

73.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))
58.0ms
(- (exp (- 0 im)) (exp im))

simplify9.6s

Counts
88 → 97
Calls

88 calls. Slowest were:

343.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))
326.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))
298.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma (- (exp im)) 1 (* (exp im) 1)))

prune1.2s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize19.0ms

Local error

Found 3 expressions with local error:

0.1b
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.0b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

rewrite8.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
3 → 42
Calls

3 calls. Slowest were:

5.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
2.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))

series194.0ms

Counts
3 → 9
Calls

3 calls. Slowest were:

151.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
24.0ms
(fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))
19.0ms
(* (pow im 5) -1/60)

simplify2.4s

Counts
19 → 51
Calls

19 calls. Slowest were:

497.0ms
(* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
291.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))
275.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune662.0ms

Pruning

10 alts after pruning (9 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize26.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.6b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.6b
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
0.6b
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

rewrite15.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 69
Calls

4 calls. Slowest were:

10.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
1.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

series601.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

159.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
152.0ms
(* (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
146.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
143.0ms
(cbrt (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

simplify5.5s

Counts
41 → 81
Calls

41 calls. Slowest were:

431.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))
420.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))
413.0ms
(* (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))

prune1.2s

Pruning

12 alts after pruning (10 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.7b
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.7b
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.7b
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
0.5b
(* (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))

rewrite41.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

24.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
6.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

series1.3s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

539.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60)))))
282.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
281.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
221.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))

simplify7.9s

Counts
31 → 71
Calls

31 calls. Slowest were:

560.0ms
(* (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
525.0ms
(* (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))
519.0ms
(* (cbrt (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))) (cbrt (cbrt (* (* 0.5 (cos re)) (fma im (fma -1/3 (* im im) -2) (* (pow im 5) -1/60))))))

prune1.1s

Pruning

14 alts after pruning (12 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes502.0ms

Accuracy

0% (0.7b remaining)

Error of 0.8b against oracle of 0.1b and baseline of 0.8b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample13.0s

Algorithm
intervals