Average Error: 0.2 → 0.2
Time: 1.0m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right|\]
↓
\[\left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\frac{1}{5} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{5} + \left(\left(\frac{1}{21} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{7} + \frac{2}{3} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \left|x\right|\right)\right)\right|\]

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right|\]

  2. Taylor expanded around inf 0.2

    \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\frac{1}{5} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{5} + \left(2 \cdot \left|x\right| + \left(\frac{2}{3} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{3} + \frac{1}{21} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{7}\right)\right)\right)}\right|\]

  3. Final simplification0.2

    \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\frac{1}{5} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{5} + \left(\left(\frac{1}{21} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{7} + \frac{2}{3} \cdot {\left(\left|x\right|\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \left|x\right|\right)\right)\right|\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019004 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x less than or equal to 0.5"
  (fabs (* (/ 1 (sqrt PI)) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))))

Details

Time bar (total: 59.7s)Debug log

sample264.0ms

Algorithm
intervals

simplify389.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

388.0ms
(fabs (* (/ 1 (sqrt PI)) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))))

prune42.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize95.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(sqrt PI)
0.2b
(* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))
0.2b
(* (/ 1 (sqrt PI)) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))
0.1b
(* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))

rewrite1.3s

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 102
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(* (/ 1 (sqrt PI)) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))
162.0ms
(* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))
21.0ms
(* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))

series361.0ms

Counts
4 → 10
Calls

4 calls. Slowest were:

282.0ms
(* (/ 1 (sqrt PI)) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))
42.0ms
(* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))
37.0ms
(* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))
0.0ms
(sqrt PI)

simplify20.1s

Counts
72 → 112
Calls

72 calls. Slowest were:

1.1s
(* (/ 1 (sqrt PI)) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))
1.1s
(* (* (* (/ 1 (sqrt PI)) (/ 1 (sqrt PI))) (/ 1 (sqrt PI))) (* (* (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))))
834.0ms
(* 1 (+ (* (+ (pow (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) 3) (pow (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))) 3)) 21) (* (+ (* (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x))))) (- (* (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))) (* 1 (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))))

prune2.2s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize69.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(* 2/3 (pow (fabs x) 3))
0.2b
(* (sqrt (/ 1 PI)) (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7))))))
0.1b
(* 1/5 (pow (fabs x) 5))
0.1b
(* 1/21 (pow (fabs x) 7))

rewrite94.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 83
Calls

4 calls. Slowest were:

78.0ms
(* (sqrt (/ 1 PI)) (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7))))))
5.0ms
(* 2/3 (pow (fabs x) 3))
4.0ms
(* 1/21 (pow (fabs x) 7))

series418.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

288.0ms
(* (sqrt (/ 1 PI)) (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7))))))
49.0ms
(* 1/5 (pow (fabs x) 5))
46.0ms
(* 1/21 (pow (fabs x) 7))
35.0ms
(* 2/3 (pow (fabs x) 3))

simplify4.0s

Counts
56 → 95
Calls

56 calls. Slowest were:

440.0ms
(* (sqrt PI) (- (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7))))))
397.0ms
(* (* (* (sqrt (/ 1 PI)) (sqrt (/ 1 PI))) (sqrt (/ 1 PI))) (* (* (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7))))) (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7)))))) (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7)))))))
295.0ms
(* (sqrt (/ 1 PI)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7)))))

prune1.8s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize26.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(sqrt PI)
0.4b
(* (fabs x) 2/3)
0.3b
(/ (fma (pow (fabs x) 5) 1/5 (fma (fabs x) (fma (* (fabs x) 2/3) (fabs x) 2) (* (pow (fabs x) 7) 1/21))) (sqrt PI))
0.1b
(* (pow (fabs x) 7) 1/21)

rewrite10.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 68
Calls

4 calls. Slowest were:

3.0ms
(* (pow (fabs x) 7) 1/21)
3.0ms
(/ (fma (pow (fabs x) 5) 1/5 (fma (fabs x) (fma (* (fabs x) 2/3) (fabs x) 2) (* (pow (fabs x) 7) 1/21))) (sqrt PI))
2.0ms
(* (fabs x) 2/3)

series334.0ms

Counts
4 → 10
Calls

4 calls. Slowest were:

268.0ms
(/ (fma (pow (fabs x) 5) 1/5 (fma (fabs x) (fma (* (fabs x) 2/3) (fabs x) 2) (* (pow (fabs x) 7) 1/21))) (sqrt PI))
58.0ms
(* (pow (fabs x) 7) 1/21)
9.0ms
(* (fabs x) 2/3)
0.0ms
(sqrt PI)

simplify3.1s

Counts
42 → 78
Calls

42 calls. Slowest were:

311.0ms
(/ (* (* (fma (pow (fabs x) 5) 1/5 (fma (fabs x) (fma (* (fabs x) 2/3) (fabs x) 2) (* (pow (fabs x) 7) 1/21))) (fma (pow (fabs x) 5) 1/5 (fma (fabs x) (fma (* (fabs x) 2/3) (fabs x) 2) (* (pow (fabs x) 7) 1/21)))) (fma (pow (fabs x) 5) 1/5 (fma (fabs x) (fma (* (fabs x) 2/3) (fabs x) 2) (* (pow (fabs x) 7) 1/21)))) (* (* (sqrt PI) (sqrt PI)) (sqrt PI)))
174.0ms
(* (sqrt (/ 1 PI)) (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7))))))
172.0ms
(* (sqrt (/ 1 PI)) (+ (* 1/5 (pow (fabs x) 5)) (+ (* 2 (fabs x)) (+ (* 2/3 (pow (fabs x) 3)) (* 1/21 (pow (fabs x) 7))))))

prune1.3s

Pruning

4 alts after pruning (1 fresh and 3 done)

Merged error: 0b

localize34.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(sqrt PI)
1.0b
(expm1 (log1p (sqrt PI)))
0.2b
(* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))
0.2b
(* (/ 1 (expm1 (log1p (sqrt PI)))) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))

rewrite1.4s

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 82
Calls

4 calls. Slowest were:

1.3s
(* (/ 1 (expm1 (log1p (sqrt PI)))) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))
49.0ms
(* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))
0.0ms
(sqrt PI)

series604.0ms

Counts
4 → 8
Calls

4 calls. Slowest were:

575.0ms
(* (/ 1 (expm1 (log1p (sqrt PI)))) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))
29.0ms
(* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))
0.0ms
(sqrt PI)
0.0ms
(expm1 (log1p (sqrt PI)))

simplify13.8s

Counts
49 → 90
Calls

49 calls. Slowest were:

916.0ms
(* (* (* (/ 1 (expm1 (log1p (sqrt PI)))) (/ 1 (expm1 (log1p (sqrt PI))))) (/ 1 (expm1 (log1p (sqrt PI))))) (* (* (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))) (+ (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))))
786.0ms
(* (expm1 (log1p (sqrt PI))) (+ (* (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))) (- (* (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (+ (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 21) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))))
773.0ms
(* 1 (+ (* (+ (pow (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) 3) (pow (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))) 3)) 21) (* (+ (* (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x))))) (- (* (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (+ (* 2 (fabs x)) (* (/ 2 3) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1 5) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))) (* 1 (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x))))))

prune1.8s

Pruning

4 alts after pruning (0 fresh and 4 done)

Merged error: 0b

regimes329.0ms

Accuracy

0% (0.1b remaining)

Error of 0.2b against oracle of 0.0b and baseline of 0.2b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample5.8s

Algorithm
intervals