Average Error: 33.4 → 28.7
Time: 1.5m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 1.7330353814957823 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sqrt{(\left(\left(-n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\left(U - U*\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) + \left(\left(\ell \cdot -2\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right))_* \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) + \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(U - U*\right) \cdot \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus n

Bits error versus U

Bits error versus t

Bits error versus l

Bits error versus Om

Bits error versus U*

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if t < 1.7330353814957823e-196

    1. Initial program 33.9

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*31.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow231.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*30.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sub-neg30.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(t + \left(-2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right)\right)} - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    9. Applied associate--l+30.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \color{blue}{\left(t + \left(\left(-2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]

    10. Applied distribute-lft-in30.1

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t + \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}\]

    11. Simplified29.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot (\left(\left(-n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(U - U*\right)\right) + \left(\frac{\ell}{Om} \cdot \left(\ell \cdot -2\right)\right))_*}}\]

    if 1.7330353814957823e-196 < t

    1. Initial program 32.8

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow230.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*29.7

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod27.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U} \cdot \sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification28.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 1.7330353814957823 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sqrt{(\left(\left(-n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(\left(U - U*\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) + \left(\left(\ell \cdot -2\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right))_* \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) + \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(U - U*\right) \cdot \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019004 +o rules:numerics
(FPCore (n U t l Om U*)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (13)"
  (sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))

Details

Time bar (total: 1.4m)Debug log

sample621.0ms

Algorithm
intervals

simplify89.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

89.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune12.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 33.9b

localize56.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
9.4b
(/ (* l l) Om)
7.5b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite50.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 85
Calls

4 calls. Slowest were:

22.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
21.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
2.0ms
(/ (* l l) Om)

series1.7s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.3s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
327.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
47.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))
17.0ms
(/ (* l l) Om)

simplify8.4s

Counts
54 → 97
Calls

54 calls. Slowest were:

631.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
610.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
525.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))

prune2.0s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 21.1b

localize36.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
7.5b
(* n (pow (/ l Om) 2))
6.7b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

rewrite90.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 95
Calls

4 calls. Slowest were:

46.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
25.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
12.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

series1.4s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

973.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
318.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
89.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
29.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify10.9s

Counts
66 → 107
Calls

66 calls. Slowest were:

646.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
563.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))
550.0ms
(* (fma (- (- U U*)) (* n (pow (/ l Om) 2)) (* (- U U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))) (* (* 2 n) U))

prune2.0s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 20.3b

localize16.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
6.7b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
4.4b
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))

rewrite96.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 174
Calls

4 calls. Slowest were:

33.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
30.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
19.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

series1.7s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
302.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
173.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))
89.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

simplify39.2s

Counts
170 → 186
Calls

170 calls. Slowest were:

723.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* Om (+ U U*))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n (/ l Om)) l) (- (* U U) (* U* U*)))))))
654.0ms
(+ (log (* (* n (/ l Om)) (/ l Om))) (log (- U U*)))
602.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))))

prune3.8s

Pruning

13 alts after pruning (13 fresh and 0 done)

Merged error: 18.4b

localize40.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (+ (* (* (* 2 n) U) t) (* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))))
11.6b
(* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))
6.5b
(* (/ l Om) (- U U*))
3.9b
(fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2)))

rewrite23.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 75
Calls

4 calls. Slowest were:

11.0ms
(sqrt (+ (* (* (* 2 n) U) t) (* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))))
7.0ms
(* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))
4.0ms
(* (/ l Om) (- U U*))

series1.1s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

773.0ms
(sqrt (+ (* (* (* 2 n) U) t) (* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))))
173.0ms
(* (* (* 2 n) U) (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2))))
110.0ms
(fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2)))
54.0ms
(* (/ l Om) (- U U*))

simplify4.8s

Counts
47 → 87
Calls

47 calls. Slowest were:

318.0ms
(* (* (/ l Om) (* l -2)) (* (* 2 n) U))
312.0ms
(* (* (* 2 n) U) (* (/ l Om) (* l -2)))
304.0ms
(+ (log (* (* 2 n) U)) (log (fma (* (- n) (/ l Om)) (* (/ l Om) (- U U*)) (* (/ l Om) (* l -2)))))

prune1.0s

Pruning

15 alts after pruning (14 fresh and 1 done)

Merged error: 15.5b

regimes812.0ms

Accuracy

9.2% (11.2b remaining)

Error of 28.7b against oracle of 17.5b and baseline of 29.8b

bsearch357.0ms

end0.0ms

sample5.8s

Algorithm
intervals