Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 32.1s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right) + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a + 1\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - a \cdot 3\right)\right) \cdot 4\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019004 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 31.3s)Debug log

sample276.0ms

Algorithm
intervals

simplify137.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

137.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1)

prune13.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize57.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite46.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 67
Calls

4 calls. Slowest were:

25.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
7.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
7.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series177.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

78.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
38.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
37.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
24.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify3.6s

Counts
42 → 79
Calls

42 calls. Slowest were:

866.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
468.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
243.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))

prune984.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize42.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.3b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.0b
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite59.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 90
Calls

4 calls. Slowest were:

44.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
6.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

series120.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

56.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
24.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
22.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
18.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify8.4s

Counts
75 → 102
Calls

75 calls. Slowest were:

859.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
450.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
435.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (- 1 a) (+ 1 (* 3 a)))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (* 1 1) (* a a))) (+ 1 (* 3 a))) (* (- 1 a) (* (* b b) (- (* 1 1) (* (* 3 a) (* 3 a)))))))))

prune2.0s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize20.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.8b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
0.4b
(* (+ (* a a) (* b b)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

rewrite21.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 81
Calls

4 calls. Slowest were:

11.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series98.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

29.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
24.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
24.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
19.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

simplify3.3s

Counts
58 → 93
Calls

58 calls. Slowest were:

870.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
405.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
341.0ms
(* (+ (pow (* a a) 3) (pow (* b b) 3)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))

prune1.1s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.8b
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
9.8b
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
0.4b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.4b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

rewrite38.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 56
Calls

4 calls. Slowest were:

18.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
15.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
3.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

series245.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

96.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
93.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
32.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
24.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify4.8s

Counts
34 → 68
Calls

34 calls. Slowest were:

646.0ms
(sqrt (* (cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) (cbrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))))
461.0ms
(sqrt (sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))
408.0ms
(sqrt (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))

prune932.0ms

Pruning

4 alts after pruning (1 fresh and 3 done)

Merged error: 0.0b

regimes222.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms

end0.0ms

sample4.6s

Algorithm
intervals