Average Error: 33.4 → 29.0
Time: 1.9m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 1.5149186682491077 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\sqrt{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(\sqrt[3]{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U} \cdot \sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus n

Bits error versus U

Bits error versus t

Bits error versus l

Bits error versus Om

Bits error versus U*

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if t < 1.5149186682491077e-196

    1. Initial program 33.9

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*31.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow231.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*30.1

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-sqr-sqrt30.2

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-cube-cbrt30.3

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}\]

    if 1.5149186682491077e-196 < t

    1. Initial program 32.8

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied unpow230.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]

    6. Applied associate-*r*29.7

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod27.1

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U} \cdot \sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification29.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le 1.5149186682491077 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\sqrt{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(\sqrt[3]{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right) \cdot \left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot U} \cdot \sqrt{\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(\frac{\ell}{Om} \cdot n\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019004 
(FPCore (n U t l Om U*)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (13)"
  (sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))

Details

Time bar (total: 1.8m)Debug log

sample344.0ms

Algorithm
intervals

simplify86.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

86.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune17.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 33.9b

localize54.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
9.4b
(/ (* l l) Om)
7.5b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite44.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 71
Calls

4 calls. Slowest were:

26.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
9.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
4.0ms
(/ (* l l) Om)

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
363.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
34.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))
10.0ms
(/ (* l l) Om)

simplify5.8s

Counts
48 → 83
Calls

48 calls. Slowest were:

552.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (* t t) (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om)))) (+ U U*)) (* (+ t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- (* U U) (* U* U*)))))))
346.0ms
(* (+ t (* 2 (/ (* l l) Om))) (+ U U*))
320.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (+ U U*)) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- (* U U) (* U* U*)))))))

prune1.5s

Pruning

10 alts after pruning (10 fresh and 0 done)

Merged error: 21.3b

localize18.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
7.5b
(* n (pow (/ l Om) 2))
6.7b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

rewrite65.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 81
Calls

4 calls. Slowest were:

39.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
12.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
9.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.1s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
347.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
67.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
30.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify7.7s

Counts
60 → 93
Calls

60 calls. Slowest were:

324.0ms
(* (- U*) (* n (pow (/ l Om) 2)))
322.0ms
(+ (log (* n (pow (/ l Om) 2))) (log (- U U*)))
315.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))

prune1.7s

Pruning

11 alts after pruning (11 fresh and 0 done)

Merged error: 20.3b

localize34.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
6.7b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
4.4b
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))

rewrite112.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 154
Calls

4 calls. Slowest were:

51.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
30.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
19.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

series1.9s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.3s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
345.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
205.0ms
(- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))
75.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

simplify33.3s

Counts
156 → 166
Calls

156 calls. Slowest were:

680.0ms
(- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*))))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) (/ l Om)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))
638.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) Om) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n (/ l Om)) l) (- U U*))))))
463.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))))

prune3.7s

Pruning

15 alts after pruning (15 fresh and 0 done)

Merged error: 18.5b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))

rewrite128.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 160
Calls

4 calls. Slowest were:

50.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
49.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
12.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))

series2.9s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.1s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
1.1s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
322.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))
321.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))

simplify30.0s

Counts
140 → 172
Calls

140 calls. Slowest were:

698.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (+ U U*)) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- (* U U) (* U* U*)))))))
691.0ms
(* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) Om)
489.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om Om))

prune5.4s

Pruning

14 alts after pruning (14 fresh and 0 done)

Merged error: 18.5b

regimes1.3s

Accuracy

11.9% (8.8b remaining)

Error of 29.0b against oracle of 20.1b and baseline of 30.1b

bsearch609.0ms

end0.0ms

sample9.2s

Algorithm
intervals