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Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < -1.6813385983305504e+75

   1. Initial program 44.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt44.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-exp-log45.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied pow1/245.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{e^{\log \color{blue}{\left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

   8. Applied log-pow45.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{e^{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \log \left(re \cdot re + im \cdot im\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

   9. Applied exp-prod45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(e^{\frac{1}{2}}\right)}^{\left(\log \left(re \cdot re + im \cdot im\right)\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

   10. Taylor expanded around -inf 11.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   11. Simplified11.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

   if -1.6813385983305504e+75 < re < 8.896182596446849e-305

   1. Initial program 21.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   if 8.896182596446849e-305 < re

   1. Initial program 45.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--45.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/45.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div45.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified34.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification25.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.6813385983305504 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.896182596446849 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019004 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

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