Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 26.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(\sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} + (\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_*\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{(\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_*} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-cube-cbrt0.0

    \[\leadsto \left((\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_* + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right) - 1\]

  6. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} + (\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_*\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019002 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (26)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b))) 1))

Details

Time bar (total: 26.1s)Debug log

sample105.0ms

Algorithm
intervals

simplify403.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

403.0ms
(- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b))) 1)

prune5.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize39.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b)))
0.0b
(* 4 (* b b))
0.0b
(+ (* a a) (* b b))

rewrite36.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 61
Calls

4 calls. Slowest were:

27.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b)))
6.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
2.0ms
(+ (* a a) (* b b))

series96.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

46.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (* b b)))
20.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
19.0ms
(+ (* a a) (* b b))
11.0ms
(* 4 (* b b))

simplify1.2s

Counts
25 → 73
Calls

25 calls. Slowest were:

230.0ms
(* (exp (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (exp (* 4 (* b b))))
144.0ms
(sqrt (pow (+ (* a a) (* b b)) 2))
143.0ms
(+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (+ (* 4 (pow b 2)) (pow a 4)))

prune736.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize21.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.1b
(* (* a b) (* a b))
0.0b
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))
0.0b
(* 4 (* b b))
0.0b
(fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))

rewrite11.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 56
Calls

4 calls. Slowest were:

5.0ms
(* (* a b) (* a b))
4.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))
1.0ms
(* 4 (* b b))

series105.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

40.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))
34.0ms
(fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))
20.0ms
(* (* a b) (* a b))
11.0ms
(* 4 (* b b))

simplify1.4s

Counts
22 → 68
Calls

22 calls. Slowest were:

484.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
116.0ms
(+ (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))) (+ (* 4 (pow b 2)) (pow a 4)))
116.0ms
(* (exp (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (exp (* 4 (* b b))))

prune650.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

25.9b
(cbrt (* 4 (* b b)))
25.9b
(cbrt (* 4 (* b b)))
25.9b
(cbrt (* 4 (* b b)))
0.4b
(* (cbrt (* 4 (* b b))) (cbrt (* 4 (* b b))))

rewrite10.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

7.0ms
(* (cbrt (* 4 (* b b))) (cbrt (* 4 (* b b))))
1.0ms
(cbrt (* 4 (* b b)))
1.0ms
(cbrt (* 4 (* b b)))

series1.3s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

376.0ms
(* (cbrt (* 4 (* b b))) (cbrt (* 4 (* b b))))
333.0ms
(cbrt (* 4 (* b b)))
313.0ms
(cbrt (* 4 (* b b)))
303.0ms
(cbrt (* 4 (* b b)))

simplify195.0ms

Counts
31 → 71
Calls

31 calls. Slowest were:

40.0ms
(* (* 4 (* b b)) (* 4 (* b b)))
40.0ms
(* (* 4 (* b b)) (* 4 (* b b)))
11.0ms
(* (pow (pow b 4) 1/3) (pow (cbrt 4) 2))

prune1.1s

Pruning

2 alts after pruning (1 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

29.6b
(cbrt (* (* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))))
0.2b
(* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
0.1b
(* (* a b) (* a b))
0.1b
(* (* a b) (* a b))

rewrite35.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 106
Calls

4 calls. Slowest were:

16.0ms
(cbrt (* (* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))))
10.0ms
(* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
3.0ms
(* (* a b) (* a b))

series195.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

114.0ms
(* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))
40.0ms
(cbrt (* (* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))))
25.0ms
(* (* a b) (* a b))
16.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify13.8s

Counts
77 → 118
Calls

77 calls. Slowest were:

849.0ms
(* (- (* (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (* (* 4 (* b b)) (* 4 (* b b)))) (- (* (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4)))) (* (* 4 (* b b)) (* 4 (* b b)))))
682.0ms
(cbrt (* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b)))))
650.0ms
(* (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))) (+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (* b b))))

prune1.6s

Pruning

2 alts after pruning (0 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

regimes61.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch4.0ms

end0.0ms

sample3.0s

Algorithm
intervals