Average Error: 0.5 → 0.1
Time: 6.5m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\frac{\frac{\sqrt{36 \cdot {v}^{4} + \left(12 \cdot \left(v \cdot v\right) + 4\right)}}{\frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{1 + v \cdot \left(-5 \cdot v\right)}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{8 - {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 6\right)}^{3}}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{1 - v \cdot v}\]

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-cube-cbrt0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  4. Applied times-frac0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}}\]

  5. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\frac{t \cdot \pi}{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied add-sqr-sqrt0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\frac{t \cdot \pi}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  8. Applied times-frac0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}{\color{blue}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}} \cdot \frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  9. Applied flip3--0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{\color{blue}{\frac{{2}^{3} - {\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}{2 \cdot 2 + \left(\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 2 \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}} \cdot \frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  10. Applied sqrt-div0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{{2}^{3} - {\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}}{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 2 \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}} \cdot \frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  11. Applied associate-/r/0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{{2}^{3} - {\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 2 \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}} \cdot \frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  12. Applied times-frac0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{{2}^{3} - {\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 2 \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  13. Simplified0.3

    \[\leadsto \left(\frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{{2}^{3} - {\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(4 + \left(v \cdot v\right) \cdot 12\right) + 36 \cdot {v}^{4}}}{\frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{v \cdot \left(v \cdot -5\right) + 1}}}}}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]
  14. Using strategy rm

  15. Applied associate-*l/0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{{2}^{3} - {\left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{\left(4 + \left(v \cdot v\right) \cdot 12\right) + 36 \cdot {v}^{4}}}{\frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{v \cdot \left(v \cdot -5\right) + 1}}}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}}{1 - v \cdot v}\]

  16. Final simplification0.1

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{36 \cdot {v}^{4} + \left(12 \cdot \left(v \cdot v\right) + 4\right)}}{\frac{\pi}{\sqrt{\sqrt[3]{1 + v \cdot \left(-5 \cdot v\right)}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{\sqrt{8 - {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 6\right)}^{3}}}}{\frac{t}{\sqrt{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{1 - v \cdot v}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019002 
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))

Details

Time bar (total: 6.5m)Debug log

sample129.0ms

Algorithm
intervals

simplify104.0ms

Counts
1 → 1
Calls

1 calls. Slowest were:

104.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v))))

prune7.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.5b

localize33.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.5b
(* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v))))))
0.3b
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v))))
0.2b
(* PI t)
0.2b
(* 5 (* v v))

rewrite35.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 69
Calls

4 calls. Slowest were:

19.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v))))
10.0ms
(* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v))))))
5.0ms
(* 5 (* v v))

series567.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

369.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v))))
136.0ms
(* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v))))))
50.0ms
(* PI t)
11.0ms
(* 5 (* v v))

simplify7.2s

Counts
47 → 81
Calls

47 calls. Slowest were:

744.0ms
(* (sqrt (+ (* 1 1) (+ (* (* 3 (* v v)) (* 3 (* v v))) (* 1 (* 3 (* v v)))))) (+ (* 1 1) (+ (* (* v v) (* v v)) (* 1 (* v v)))))
473.0ms
(* (* (* (* PI t) (* PI t)) (* PI t)) (* (* (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v))))) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))))
412.0ms
(/ (* (* (- 1 (* 5 (* v v))) (- 1 (* 5 (* v v)))) (- 1 (* 5 (* v v)))) (* (* (* (* (* PI t) (* PI t)) (* PI t)) (* (* (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v))))) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v))))))) (* (* (- 1 (* v v)) (- 1 (* v v))) (- 1 (* v v)))))

prune1.2s

Pruning

7 alts after pruning (7 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize72.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v)))))
0.4b
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v))))) (/ (* t PI) (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))
0.2b
(* t PI)
0.2b
(* (* v v) 5)

rewrite70.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 659
Calls

4 calls. Slowest were:

21.0ms
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v))))) (/ (* t PI) (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))
10.0ms
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v)))))
4.0ms
(* (* v v) 5)

series794.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

486.0ms
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v))))) (/ (* t PI) (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))
234.0ms
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v)))))
54.0ms
(* t PI)
19.0ms
(* (* v v) 5)

simplify2.0m

Counts
1172 → 671
Calls

1172 calls. Slowest were:

670.0ms
(/ (/ (cbrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v))))) (cbrt (+ (* 1 1) (+ (* (* (* v v) 5) (* (* v v) 5)) (* 1 (* (* v v) 5))))))
643.0ms
(/ (/ (cbrt (sqrt (- 1 (* (* v v) 5)))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v))))) (/ (* t PI) (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))
447.0ms
(/ (/ (cbrt (sqrt (- 1 (* (* v v) 5)))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v))))) (cbrt (+ (* 1 1) (+ (* (* (* v v) 5) (* (* v v) 5)) (* 1 (* (* v v) 5))))))

prune10.4s

Pruning

5 alts after pruning (5 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize63.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))
0.4b
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ t (sqrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))))))
0.4b
(* (/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ t (sqrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))) (/ (sqrt (+ (+ 4 (* (* v v) 12)) (* 36 (pow v 4)))) (/ PI (sqrt (cbrt (+ (* v (* v -5)) 1))))))
0.2b
(* (* v v) 5)

rewrite79.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 966
Calls

4 calls. Slowest were:

22.0ms
(* (/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ t (sqrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))) (/ (sqrt (+ (+ 4 (* (* v v) 12)) (* 36 (pow v 4)))) (/ PI (sqrt (cbrt (+ (* v (* v -5)) 1))))))
14.0ms
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ t (sqrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))))))
8.0ms
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))

series599.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

357.0ms
(* (/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ t (sqrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))) (/ (sqrt (+ (+ 4 (* (* v v) 12)) (* 36 (pow v 4)))) (/ PI (sqrt (cbrt (+ (* v (* v -5)) 1))))))
140.0ms
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))
92.0ms
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ t (sqrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))))))
11.0ms
(* (* v v) 5)

simplify3.1m

Counts
1353 → 978
Calls

1353 calls. Slowest were:

720.0ms
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (* (pow 2 3) (pow 2 3)) (* (pow (* 6 (* v v)) 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))) (sqrt (/ t (sqrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))))))
551.0ms
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (* (pow 2 3) (pow 2 3)) (* (pow (* 6 (* v v)) 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))) 1)
543.0ms
(/ (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (* (pow 2 3) (pow 2 3)) (* (pow (* 6 (* v v)) 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))) 1)

prune28.6s

Pruning

5 alts after pruning (4 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize13.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(* (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ (sqrt (+ (+ 4 (* (* v v) 12)) (* 36 (pow v 4)))) (/ PI (sqrt (cbrt (+ (* v (* v -5)) 1))))))
1.0b
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))
0.2b
(* 5 (* v v))
0.2b
(* (* v v) 5)

rewrite34.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 224
Calls

4 calls. Slowest were:

16.0ms
(* (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ (sqrt (+ (+ 4 (* (* v v) 12)) (* 36 (pow v 4)))) (/ PI (sqrt (cbrt (+ (* v (* v -5)) 1))))))
8.0ms
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))
2.0ms
(* (* v v) 5)

series273.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

131.0ms
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3))))
119.0ms
(* (/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (pow 2 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))) (/ (sqrt (+ (+ 4 (* (* v v) 12)) (* 36 (pow v 4)))) (/ PI (sqrt (cbrt (+ (* v (* v -5)) 1))))))
12.0ms
(* (* v v) 5)
11.0ms
(* 5 (* v v))

simplify28.1s

Counts
253 → 236
Calls

253 calls. Slowest were:

503.0ms
(/ (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))) (sqrt (- (* (pow 2 3) (pow 2 3)) (* (pow (* 6 (* v v)) 3) (pow (* 6 (* v v)) 3)))))
454.0ms
(/ (cbrt (sqrt (- 1 (* (* v v) 5)))) (sqrt (+ (sqrt (pow 2 3)) (sqrt (pow (* 6 (* v v)) 3)))))
332.0ms
(/ (* (cbrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5)))) (cbrt (cbrt (- 1 (* (* v v) 5))))) (sqrt (+ (sqrt (pow 2 3)) (sqrt (pow (* 6 (* v v)) 3)))))

prune6.2s

Pruning

5 alts after pruning (3 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

regimes110.0ms

Accuracy

0% (0.1b remaining)

Error of 0.1b against oracle of 0.0b and baseline of 0.1b

bsearch7.0ms

end0.0ms

sample2.7s

Algorithm
intervals