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Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if im < -7.5738613442925e+124

   1. Initial program 53.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 53.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right)}\]

   3. Taylor expanded around -inf 8.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

   if -7.5738613442925e+124 < im < -1.1129029891800812e-104

   1. Initial program 21.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--28.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/28.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div28.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   if -1.1129029891800812e-104 < im < 2.6871600780710753e-213

   1. Initial program 39.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt41.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Taylor expanded around -inf 34.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if 2.6871600780710753e-213 < im < 4.245068343236042e+116

   1. Initial program 27.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt27.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod27.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   5. Simplified27.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

   if 4.245068343236042e+116 < im

   1. Initial program 52.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt52.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Taylor expanded around 0 9.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification22.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -7.5738613442925 \cdot 10^{+124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-2.0\right) \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.1129029891800812 \cdot 10^{-104}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.6871600780710753 \cdot 10^{-213}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.245068343236042 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019002 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

Details

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