Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 25.9s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left((\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\frac{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(9 - a \cdot a\right)}{3 - a} + \left(1 - a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{(\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_*} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied flip-+0.0

    \[\leadsto \left((\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\frac{3 \cdot 3 - a \cdot a}{3 - a}}\right)\right) - 1\]

  6. Applied associate-*r/0.0

    \[\leadsto \left((\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 \cdot 3 - a \cdot a\right)}{3 - a}}\right)\right) - 1\]

  7. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left((\left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) \cdot 2 + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\frac{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(9 - a \cdot a\right)}{3 - a} + \left(1 - a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018365 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1))

Details

Time bar (total: 21.4s)Debug log

start242.0ms

Algorithm
intervals

setup179.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize35.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.5b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite62.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 82
Calls

4 calls. Slowest were:

32.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
16.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
7.0ms
(* (* a a) (- 1 a))

series188.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

92.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
37.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
32.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
28.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify3.7s

Counts
48 → 94
Calls

48 calls. Slowest were:

760.0ms
(- (+ (* 4 (pow a 2)) (* 12 (pow b 2))) (* 4 (pow a 3)))
506.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
435.0ms
(* (* (* b b) (+ 3 a)) 4)

prune1.6s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize26.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.5b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.1b
(* (* a b) (* a b))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 81
Calls

4 calls. Slowest were:

4.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
4.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
4.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

series129.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

61.0ms
(+ (fma (* (* a b) (* a b)) 2 (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
24.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
23.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
21.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify3.1s

Counts
46 → 93
Calls

46 calls. Slowest were:

620.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
407.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
330.0ms
(- (+ (* 4 (pow a 2)) (* 12 (pow b 2))) (* 4 (pow a 3)))

prune1.6s

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize25.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))
0.2b
(/ (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))) (- 3 a))
0.1b
(* (* a b) (* a b))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))

rewrite26.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 94
Calls

4 calls. Slowest were:

9.0ms
(/ (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))) (- 3 a))
7.0ms
(* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))
5.0ms
(* (* a a) (- 1 a))

series160.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

52.0ms
(/ (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))) (- 3 a))
52.0ms
(* (* b b) (- (* 3 3) (* a a)))
29.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
27.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify5.4s

Counts
63 → 106
Calls

63 calls. Slowest were:

994.0ms
(/ (- (* 3 3) (* a a)) (- 3 a))
790.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- (* 3 3) (* a a)) (- (* 3 3) (* a a))) (- (* 3 3) (* a a))))
538.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))

prune2.1s

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize31.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.7b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
0.5b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.2b
(fma (fma b b (* a a)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))

rewrite19.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 71
Calls

4 calls. Slowest were:

7.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
6.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
4.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

series149.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

78.0ms
(fma (fma b b (* a a)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
24.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
23.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
23.0ms
(* (* a a) (- 1 a))

simplify1.3s

Counts
40 → 83
Calls

40 calls. Slowest were:

355.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
165.0ms
(sqrt (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))))
125.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (+ 3 a) (+ 3 a)) (+ 3 a)))

prune1.1s

Pruning

3 alts after pruning (1 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes102.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch4.0ms