Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 30.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left((2 \cdot \left(\left(b \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot a\right)\right) + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(1 + a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around 0 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + {a}^{4}\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{(2 \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot b\right)\right) + \left({a}^{4} + {b}^{4}\right))_*} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  4. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left((2 \cdot \left(\left(b \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot a\right)\right) + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_* + 4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(1 + a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018365 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 25.5s)Debug log

start249.0ms

Algorithm
intervals

setup262.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize39.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.0b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite32.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 82
Calls

4 calls. Slowest were:

21.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series206.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

91.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
40.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
38.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
37.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify6.3s

Counts
48 → 94
Calls

48 calls. Slowest were:

1.0s
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
692.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
512.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))

prune1.4s

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize25.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.1b
(* (* a b) (* a b))
0.0b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite15.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 81
Calls

4 calls. Slowest were:

4.0ms
(+ (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series156.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

73.0ms
(+ (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
38.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
24.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
21.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify5.2s

Counts
46 → 93
Calls

46 calls. Slowest were:

886.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
616.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
568.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))

prune1.5s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize16.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.7b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
0.3b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.2b
(fma (fma b b (* a a)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
0.0b
(* (* a a) (+ 1 a))

rewrite12.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 71
Calls

4 calls. Slowest were:

4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
4.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
3.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series181.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

96.0ms
(fma (fma b b (* a a)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
39.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
27.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
20.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

simplify3.4s

Counts
40 → 83
Calls

40 calls. Slowest were:

739.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
567.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
239.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

prune1.4s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize17.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.7b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
0.3b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.3b
(* (fma b b (* a a)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
0.0b
(* (* a a) (+ 1 a))

rewrite38.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 88
Calls

4 calls. Slowest were:

19.0ms
(* (fma b b (* a a)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
7.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
6.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series163.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

54.0ms
(* (fma b b (* a a)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
39.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
39.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
31.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

simplify3.4s

Counts
56 → 100
Calls

56 calls. Slowest were:

665.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
460.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
435.0ms
(* (* (* (fma b b (* a a)) (fma b b (* a a))) (fma b b (* a a))) (* (* (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2)))

prune1.3s

Pruning

4 alts after pruning (1 fresh and 3 done)

Merged error: 0b

regimes85.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms