Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 25.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(a + 3\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right) + \left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right)\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(a + 3\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right) + \left(\left({a}^{4} + \left({b}^{2} \cdot {a}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right)\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018365 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1))

Details

Time bar (total: 20.8s)Debug log

start223.0ms

Algorithm
intervals

setup135.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize75.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.5b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite49.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 67
Calls

4 calls. Slowest were:

29.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
7.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
7.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

series181.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

77.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
37.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
37.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
29.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify2.7s

Counts
42 → 79
Calls

42 calls. Slowest were:

735.0ms
(* (exp (pow (+ (* a a) (* b b)) 2)) (exp (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))))
473.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
218.0ms
(* 4 (* (* b b) (+ 3 a)))

prune1.3s

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize60.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

2.1b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.5b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))
0.0b
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))

rewrite64.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 90
Calls

4 calls. Slowest were:

48.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
6.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
4.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

series159.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

81.0ms
(+ (+ (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a)))))
31.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))
26.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
21.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify6.9s

Counts
75 → 102
Calls

75 calls. Slowest were:

520.0ms
(+ (* (+ (pow (pow b 4) 3) (pow (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) 3)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (+ (* (pow b 4) (pow b 4)) (- (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))
416.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
414.0ms
(+ (* (- (* (pow b 4) (pow b 4)) (* (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2)))))) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (- 3 a))) (* (- (pow b 4) (+ (pow a 4) (* 2 (* (pow a 2) (pow b 2))))) (* 4 (+ (* (* (* a a) (- (pow 1 3) (pow a 3))) (- 3 a)) (* (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a))) (* (* b b) (- (* 3 3) (* a a))))))))

prune1.7s

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize29.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.7b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
0.5b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.3b
(* (+ (* a a) (* b b)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
0.1b
(* (* a a) (- 1 a))

rewrite24.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 81
Calls

4 calls. Slowest were:

10.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
6.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
4.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

series81.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

22.0ms
(* (* a a) (- 1 a))
20.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
20.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
19.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

simplify1.4s

Counts
58 → 93
Calls

58 calls. Slowest were:

287.0ms
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)))
263.0ms
(* (+ (pow (* a a) 3) (pow (* b b) 3)) (pow (sqrt (+ (* a a) (* b b))) 2))
91.0ms
(sqrt (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))))

prune1.2s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

9.7b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
9.7b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
0.5b
(* (* b b) (+ 3 a))
0.2b
(* (+ (* a a) (* b b)) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 77
Calls

4 calls. Slowest were:

8.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))
4.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))
2.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

series99.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

44.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))
19.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
19.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
17.0ms
(* (* b b) (+ 3 a))

simplify3.1s

Counts
60 → 89
Calls

60 calls. Slowest were:

303.0ms
(* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (sqrt (+ (pow (* a a) 3) (pow (* b b) 3))))
292.0ms
(* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))
291.0ms
(* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (sqrt (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b)))))

prune1.1s

Pruning

4 alts after pruning (1 fresh and 3 done)

Merged error: 0b

regimes149.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms