Average Error: 52.6 → 0.2
Time: 24.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{c \cdot -4}{\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{{b}^{2} - \left(a \cdot c\right) \cdot 4} + b\right)}{a}}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 52.6

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Initial simplification52.6

    \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b}{2 \cdot a}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--52.6

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}}{2 \cdot a}\]

  5. Applied associate-/l/52.6

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  6. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied associate-/l*0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -4}{\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}{a}}}\]

  9. Taylor expanded around 0 0.2

    \[\leadsto \frac{c \cdot -4}{\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{b}^{2} - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}} + b\right)}{a}}\]

  10. Final simplification0.2

    \[\leadsto \frac{c \cdot -4}{\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{{b}^{2} - \left(a \cdot c\right) \cdot 4} + b\right)}{a}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018365 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 15.4s)Debug log

start312.0ms

Algorithm
intervals

setup140.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 52.4b

localize31.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

25.3b
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.1b
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.0b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite79.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

55.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
12.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series252.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

83.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
77.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
60.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
31.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.1s

Counts
32 → 71
Calls

32 calls. Slowest were:

310.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)))
300.0ms
(- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b))
210.0ms
(- (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3))

prune864.0ms

Pruning

6 alts after pruning (6 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize27.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

rewrite55.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 60
Calls

4 calls. Slowest were:

24.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
18.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
8.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

series333.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

136.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
80.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
74.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
42.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify3.8s

Counts
33 → 72
Calls

33 calls. Slowest were:

1.0s
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
926.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
290.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))

prune1.1s

Pruning

6 alts after pruning (6 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize6.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) a)
0.1b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.1b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

rewrite48.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 54
Calls

4 calls. Slowest were:

15.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
15.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
15.0ms
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) a)

series284.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

84.0ms
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) a)
84.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
73.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
43.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify1.5s

Counts
26 → 66
Calls

26 calls. Slowest were:

288.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
218.0ms
(* (* 2 a) (- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b)))
151.0ms
(* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))

prune1.1s

Pruning

6 alts after pruning (6 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize26.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)) a)
0.1b
(- (pow b 2) (* 4 (* a c)))
0.1b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b))
0.1b
(+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)

rewrite98.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 54
Calls

4 calls. Slowest were:

35.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b))
35.0ms
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)) a)
22.0ms
(+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)

series248.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

86.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b))
71.0ms
(+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)
65.0ms
(/ (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)) a)
26.0ms
(- (pow b 2) (* 4 (* a c)))

simplify1.6s

Counts
26 → 66
Calls

26 calls. Slowest were:

255.0ms
(+ (* (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c))))) (- (* b b) (* (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)))
235.0ms
(* (* 2 a) (- (* (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c))))) (* b b)))
190.0ms
(* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)) (+ (sqrt (- (pow b 2) (* 4 (* a c)))) b)))

prune1.1s

Pruning

5 alts after pruning (4 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes283.0ms

Accuracy

0% (0.1b remaining)

Error of 0.2b against oracle of 0.0b and baseline of 0.2b

bsearch4.0ms