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Derivation

1. Initial program 42.8

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

2. Taylor expanded around 0 0.7

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

3. Taylor expanded around inf 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(1.0 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)}\]

4. Simplified0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 1.0\right) - \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot 0.008333333333333333}\]

5. Final simplification0.7

   \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 1.0\right) - 0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018365 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

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