Average Error: 0.2 → 0.2
Time: 22.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[(\left((\left(\left(a + 3\right) \cdot b\right) \cdot b + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right))_*\right) \cdot 4 + \left((\left((b \cdot b + \left(a \cdot a\right))_*\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot a\right))_*\right) + -1)_*\right))_*\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Initial simplification0.2

    \[\leadsto (\left((\left(b \cdot \left(a + 3\right)\right) \cdot b + \left(\left(1 - a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right))_*\right) \cdot 4 + \left((\left((b \cdot b + \left(a \cdot a\right))_*\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot a\right))_*\right) + -1)_*\right))_*\]

  3. Final simplification0.2

    \[\leadsto (\left((\left(\left(a + 3\right) \cdot b\right) \cdot b + \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right)\right))_*\right) \cdot 4 + \left((\left((b \cdot b + \left(a \cdot a\right))_*\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(a \cdot a\right))_*\right) + -1)_*\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018362 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1))

Details

Time bar (total: 16.7s)Debug log

start236.0ms

Algorithm
intervals

setup152.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize34.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(fma (fma b b (* a a)) (fma b b (* a a)) -1)
0.1b
(fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a)))
0.1b
(* (- 1 a) (* a a))
0.0b
(* b (+ a 3))

rewrite6.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 56
Calls

4 calls. Slowest were:

4.0ms
(* (- 1 a) (* a a))
1.0ms
(* b (+ a 3))
0.0ms
(fma (fma b b (* a a)) (fma b b (* a a)) -1)

series130.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

37.0ms
(fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a)))
36.0ms
(fma (fma b b (* a a)) (fma b b (* a a)) -1)
29.0ms
(* b (+ a 3))
27.0ms
(* (- 1 a) (* a a))

simplify1.5s

Counts
26 → 68
Calls

26 calls. Slowest were:

285.0ms
(* (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)) (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)))
234.0ms
(- (+ (pow a 2) (* a (pow b 2))) (pow a 3))
210.0ms
(- (+ (pow a 2) (* a (pow b 2))) (pow a 3))

prune1.2s

Pruning

2 alts after pruning (1 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize21.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(* (* a b) (* a b))
0.1b
(fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a)))
0.1b
(* (- 1 a) (* a a))
0.0b
(fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))

rewrite14.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 57
Calls

4 calls. Slowest were:

7.0ms
(* (- 1 a) (* a a))
5.0ms
(* (* a b) (* a b))
0.0ms
(fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))

series160.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

82.0ms
(fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))
27.0ms
(fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a)))
27.0ms
(* (- 1 a) (* a a))
24.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify2.5s

Counts
25 → 69
Calls

25 calls. Slowest were:

817.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
254.0ms
(* (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)) (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)))
248.0ms
(- (+ (pow a 2) (* a (pow b 2))) (pow a 3))

prune1.3s

Pruning

3 alts after pruning (1 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize15.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

8.5b
(sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))
8.5b
(sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))
0.3b
(* (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))))
0.2b
(* (* a b) (* a b))

rewrite11.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 78
Calls

4 calls. Slowest were:

5.0ms
(* (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))))
4.0ms
(* (* a b) (* a b))
1.0ms
(sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))

series234.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

73.0ms
(* (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))))
70.0ms
(sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))
64.0ms
(sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))
27.0ms
(* (* a b) (* a b))

simplify7.0s

Counts
48 → 90
Calls

48 calls. Slowest were:

662.0ms
(* (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)) (* (* (* a b) (* a b)) (* a b)))
586.0ms
(* (* (* (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))) (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))) (* (* (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4))))) (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))) (sqrt (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))))
432.0ms
(* (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))) (fma (fma (* b (+ a 3)) b (* (- 1 a) (* a a))) 4 (fma 2 (* (* a b) (* a b)) (+ (pow a 4) (pow b 4)))))

prune1.9s

Pruning

3 alts after pruning (0 fresh and 3 done)

Merged error: 0b

regimes117.0ms

Accuracy

0% (0.2b remaining)

Error of 0.2b against oracle of 0.0b and baseline of 0.2b

bsearch3.0ms