Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 21.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right) + \left(1 - a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot 4 - \left(1 - \left(\left({a}^{4} + \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right)\right)\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 - a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Initial simplification0.2

    \[\leadsto \left(\left(a + 3\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(1 - a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot 4 - \left(1 - \left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right)\]

  3. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\left(a + 3\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(1 - a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot 4 - \left(1 - \color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)}\right)\]

  4. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(3 + a\right) + \left(1 - a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot 4 - \left(1 - \left(\left({a}^{4} + \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right) \cdot 2\right) + {b}^{4}\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018362 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (- 1 a)) (* (* b b) (+ 3 a))))) 1))

Details

Time bar (total: 17.0s)Debug log

start273.0ms

Algorithm
intervals

setup129.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize50.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.8b
(* (+ a 3) (* b b))
0.4b
(* (+ (* a a) (* b b)) (+ (* a a) (* b b)))
0.1b
(* (- 1 a) (* a a))
0.0b
(* (+ (* (+ a 3) (* b b)) (* (- 1 a) (* a a))) 4)

rewrite60.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 81
Calls

4 calls. Slowest were:

24.0ms
(* (+ (* (+ a 3) (* b b)) (* (- 1 a) (* a a))) 4)
14.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (+ (* a a) (* b b)))
13.0ms
(* (- 1 a) (* a a))

series134.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

51.0ms
(* (+ (* (+ a 3) (* b b)) (* (- 1 a) (* a a))) 4)
36.0ms
(* (- 1 a) (* a a))
27.0ms
(* (+ a 3) (* b b))
19.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (+ (* a a) (* b b)))

simplify6.6s

Counts
59 → 93
Calls

59 calls. Slowest were:

667.0ms
(* (+ (* (* a a) (* a a)) (- (* (* b b) (* b b)) (* (* a a) (* b b)))) (+ (* (* a a) (* a a)) (- (* (* b b) (* b b)) (* (* a a) (* b b)))))
580.0ms
(* (+ (* (* (+ (pow a 3) (pow 3 3)) (* b b)) (+ (* 1 1) (+ (* a a) (* 1 a)))) (* (+ (* a a) (- (* 3 3) (* a 3))) (* (- (pow 1 3) (pow a 3)) (* a a)))) 4)
318.0ms
(* (+ (* (* a a) (* a a)) (- (* (* b b) (* b b)) (* (* a a) (* b b)))) (- (* a a) (* b b)))

prune1.3s

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize36.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.8b
(* (pow a 2) (pow b 2))
0.8b
(* (+ a 3) (* b b))
0.1b
(* (- 1 a) (* a a))
0.0b
(* (+ (* (+ a 3) (* b b)) (* (- 1 a) (* a a))) 4)

rewrite38.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 73
Calls

4 calls. Slowest were:

25.0ms
(* (+ (* (+ a 3) (* b b)) (* (- 1 a) (* a a))) 4)
5.0ms
(* (- 1 a) (* a a))
3.0ms
(* (+ a 3) (* b b))

series104.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

39.0ms
(* (+ (* (+ a 3) (* b b)) (* (- 1 a) (* a a))) 4)
25.0ms
(* (- 1 a) (* a a))
24.0ms
(* (+ a 3) (* b b))
17.0ms
(* (pow a 2) (pow b 2))

simplify2.4s

Counts
45 → 85
Calls

45 calls. Slowest were:

250.0ms
(* (- (* a a) (* 3 3)) (* b b))
190.0ms
(* (* (* (- 1 a) (- 1 a)) (- 1 a)) (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)))
175.0ms
(sqrt (+ (* (+ a 3) (* b b)) (* (- 1 a) (* a a))))

prune1.3s

Pruning

2 alts after pruning (1 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize16.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

8.4b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
8.4b
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
0.8b
(* (+ a 3) (* b b))
0.2b
(* (+ (* a a) (* b b)) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))

rewrite15.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 75
Calls

4 calls. Slowest were:

8.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))
3.0ms
(* (+ a 3) (* b b))
2.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

series102.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

45.0ms
(* (+ (* a a) (* b b)) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))
20.0ms
(* (+ a 3) (* b b))
19.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))
18.0ms
(sqrt (+ (* a a) (* b b)))

simplify3.2s

Counts
57 → 87
Calls

57 calls. Slowest were:

302.0ms
(* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (sqrt (+ (pow (* a a) 3) (pow (* b b) 3))))
296.0ms
(* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (sqrt (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b)))))
294.0ms
(* (- (* (* a a) (* a a)) (* (* b b) (* b b))) (sqrt (+ (* a a) (* b b))))

prune1.1s

Pruning

2 alts after pruning (0 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes85.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms