Average Error: 0.0 → 0.0
Time: 42.7s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right)\]
↓
\[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}}\right)}}\right)\]

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.0

    \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right)\]

  2. Initial simplification0.0

    \[\leadsto \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \cdot 2\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-cbrt-cube0.0

    \[\leadsto \tan^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\frac{1 - x}{1 + x} \cdot \frac{1 - x}{1 + x}\right) \cdot \frac{1 - x}{1 + x}}}}\right) \cdot 2\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied add-cube-cbrt0.0

    \[\leadsto \tan^{-1} \left(\sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1 - x}{1 + x} \cdot \frac{1 - x}{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 - x}{1 + x} \cdot \frac{1 - x}{1 + x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1 - x}{1 + x} \cdot \frac{1 - x}{1 + x}}\right)} \cdot \frac{1 - x}{1 + x}}}\right) \cdot 2\]

  7. Final simplification0.0

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1 - x}{x + 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}}\right)}}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018362 
(FPCore (x)
  :name "arccos"
  (* 2 (atan (sqrt (/ (- 1 x) (+ 1 x))))))

Details

Time bar (total: 38.2s)Debug log

start425.0ms

Algorithm
intervals

setup140.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize18.0ms

Local error

Found 3 expressions with local error:

0.0b
(atan (sqrt (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
0.0b
(/ (- 1 x) (+ 1 x))
0.0b
(sqrt (/ (- 1 x) (+ 1 x)))

rewrite8.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
3 → 65
Calls

3 calls. Slowest were:

3.0ms
(/ (- 1 x) (+ 1 x))
1.0ms
(atan (sqrt (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
1.0ms
(sqrt (/ (- 1 x) (+ 1 x)))

series415.0ms

Counts
3 → 9
Calls

3 calls. Slowest were:

27.0ms
(sqrt (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
13.0ms
(/ (- 1 x) (+ 1 x))
12.0ms
(atan (sqrt (/ (- 1 x) (+ 1 x))))

simplify1.5s

Counts
57 → 74
Calls

57 calls. Slowest were:

302.0ms
(/ (* (* (- 1 x) (- 1 x)) (- 1 x)) (* (* (+ 1 x) (+ 1 x)) (+ 1 x)))
291.0ms
(- (+ (sqrt -1) (/ 1 (* x (sqrt -1)))) (+ (/ 1 (* (pow x 2) (sqrt -1))) (* 1/2 (/ 1 (* (pow x 2) (pow (sqrt -1) 3))))))
261.0ms
(- (+ (sqrt -1) (/ 1 (* x (sqrt -1)))) (+ (/ 1 (* (pow x 2) (sqrt -1))) (* 1/2 (/ 1 (* (pow x 2) (pow (sqrt -1) 3))))))

prune823.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize15.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.0b
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
0.0b
(cbrt (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
0.0b
(atan (sqrt (cbrt (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))))
0.0b
(/ (- 1 x) (+ 1 x))

rewrite28.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 109
Calls

4 calls. Slowest were:

14.0ms
(cbrt (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
9.0ms
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
3.0ms
(/ (- 1 x) (+ 1 x))

series42.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

15.0ms
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
14.0ms
(cbrt (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
10.0ms
(/ (- 1 x) (+ 1 x))
3.0ms
(atan (sqrt (cbrt (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))))

simplify5.9s

Counts
96 → 121
Calls

96 calls. Slowest were:

732.0ms
(cbrt (* (* (- 1 x) (- 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
548.0ms
(* (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
510.0ms
(* (- 1 x) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))

prune1.8s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

localize23.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.0b
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
0.0b
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
0.0b
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
0.0b
(* (cbrt (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))) (cbrt (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))))

rewrite52.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 198
Calls

4 calls. Slowest were:

15.0ms
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
14.0ms
(* (cbrt (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))) (cbrt (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))))
10.0ms
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))

series104.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

51.0ms
(* (cbrt (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))) (cbrt (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))))
21.0ms
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
19.0ms
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))
13.0ms
(* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x)))

simplify14.9s

Counts
187 → 210
Calls

187 calls. Slowest were:

640.0ms
(* (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
597.0ms
(* (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))
592.0ms
(* (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (* (* (/ (- 1 x) (+ 1 x)) (/ (- 1 x) (+ 1 x))) (/ (- 1 x) (+ 1 x))))

prune4.0s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

localize35.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.0b
(* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x)))
0.0b
(* (* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x))) (/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x)))
0.0b
(/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x))
0.0b
(cbrt (- 1 x))

rewrite52.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 152
Calls

4 calls. Slowest were:

28.0ms
(* (* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x))) (/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x)))
11.0ms
(* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x)))
7.0ms
(/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x))

series178.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

71.0ms
(/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x))
53.0ms
(cbrt (- 1 x))
43.0ms
(* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x)))
11.0ms
(* (* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x))) (/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x)))

simplify5.4s

Counts
159 → 164
Calls

159 calls. Slowest were:

530.0ms
(/ (- 1 x) (* (* (+ 1 x) (+ 1 x)) (+ 1 x)))
319.0ms
(* (* (cbrt (+ (* 1 1) (+ (* x x) (* 1 x)))) (cbrt (+ 1 x))) (+ 1 x))
309.0ms
(* (* (* (* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x))) (* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x)))) (* (cbrt (- 1 x)) (cbrt (- 1 x)))) (* (* (/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x)) (/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x))) (/ (cbrt (- 1 x)) (+ 1 x))))

prune2.2s

Pruning

3 alts after pruning (1 fresh and 2 done)

Merged error: 0b

regimes107.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch5.0ms