Average Error: 28.1 → 0.4
Time: 1.0m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{a \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4\right)}} + b}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 28.1

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Initial simplification28.1

    \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b}{2 \cdot a}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--28.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}}{2 \cdot a}\]

  5. Applied associate-/l/28.1

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} - b \cdot b}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}}\]

  6. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b\right)}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied associate-/r*0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4} + b}}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied add-cbrt-cube0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{2 \cdot a}}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(c \cdot a\right) \cdot 4\right)}}} + b}\]

  11. Final simplification0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot -4\right) \cdot a}{a \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4\right)}} + b}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018362 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 52.3s)Debug log

start147.0ms

Algorithm
intervals

setup116.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 27.2b

localize44.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

27.0b
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.3b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.2b
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite75.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

46.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
20.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series219.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

69.0ms
(/ (- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (* 2 a))
68.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
55.0ms
(- (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
26.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify2.2s

Counts
32 → 71
Calls

32 calls. Slowest were:

360.0ms
(- (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* b b))
353.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)))
226.0ms
(- (pow (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) 3) (pow b 3))

prune789.0ms

Pruning

5 alts after pruning (5 fresh and 0 done)

Merged error: 0.4b

localize19.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.4b
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
0.3b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.3b
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.2b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

rewrite50.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 60
Calls

4 calls. Slowest were:

21.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
15.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
9.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)

series300.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

149.0ms
(/ (* (* c -4) a) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
65.0ms
(* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
59.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
27.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify4.1s

Counts
33 → 72
Calls

33 calls. Slowest were:

1.3s
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (* 2 a)) (* 2 a)) (* (* (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
916.0ms
(/ (* (* (* (* c -4) a) (* (* c -4) a)) (* (* c -4) a)) (* (* (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))) (* (* 2 a) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))))
300.0ms
(+ (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (- (* b b) (* (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))

prune1.3s

Pruning

10 alts after pruning (10 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize12.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(- (* b b) (* (* c a) 4))
0.3b
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
0.2b
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
0.1b
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))

rewrite34.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 76
Calls

4 calls. Slowest were:

19.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
7.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
4.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

series307.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

143.0ms
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b))
72.0ms
(+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)
64.0ms
(sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4)))
26.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify14.6s

Counts
63 → 88
Calls

63 calls. Slowest were:

1.2s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (sqrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))
1.2s
(/ (sqrt (/ (* (* c -4) a) (* 2 a))) 1)
1.1s
(/ (/ (* (* c -4) a) (* 2 a)) (cbrt (+ (sqrt (- (* b b) (* (* c a) 4))) b)))

prune1.3s

Pruning

9 alts after pruning (9 fresh and 0 done)

Merged error: 0b

localize20.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(cbrt (* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4))))
0.5b
(* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4)))
0.3b
(* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4)))
0.3b
(- (* b b) (* (* c a) 4))

rewrite95.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 135
Calls

4 calls. Slowest were:

38.0ms
(* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4)))
26.0ms
(cbrt (* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4))))
22.0ms
(* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4)))

series167.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

64.0ms
(* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4)))
41.0ms
(cbrt (* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4))))
36.0ms
(* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4)))
25.0ms
(- (* b b) (* (* c a) 4))

simplify23.0s

Counts
134 → 147
Calls

134 calls. Slowest were:

1.3s
(* (* (* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4)))) (* (* (- (* b b) (* (* c a) 4)) (- (* b b) (* (* c a) 4))) (- (* b b) (* (* c a) 4))))
802.0ms
(cbrt (* (* (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4))) (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)))) (- (* (* b b) (* b b)) (* (* (* c a) 4) (* (* c a) 4)))))
771.0ms
(* (- (pow (* b b) 3) (pow (* (* c a) 4) 3)) (- (* b b) (* (* c a) 4)))

prune3.1s

Pruning

9 alts after pruning (8 fresh and 1 done)

Merged error: 0b

regimes332.0ms

Accuracy

0% (0.4b remaining)

Error of 0.4b against oracle of 0.0b and baseline of 0.4b

bsearch2.0ms