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Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < 2.282023825232493e-248

   1. Initial program 43.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied +-commutative43.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip-+43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

   6. Applied associate-*r/43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

   7. Applied sqrt-div43.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

   8. Simplified34.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]

   if 2.282023825232493e-248 < re < 1.942710743904727e-125

   1. Initial program 24.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt24.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod24.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   5. Taylor expanded around 0 35.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

   if 1.942710743904727e-125 < re < 2.049359572811252e+123

   1. Initial program 15.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied +-commutative15.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right)}\]

   if 2.049359572811252e+123 < re

   1. Initial program 54.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied +-commutative54.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right)}\]

   4. Taylor expanded around 0 9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification26.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 2.282023825232493 \cdot 10^{-248}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.942710743904727 \cdot 10^{-125}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.049359572811252 \cdot 10^{+123}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018362 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

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