Average Error: 33.5 → 26.6
Time: 1.4m
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \le 1.2863909643541 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot n}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus n

Bits error versus U

Bits error versus t

Bits error versus l

Bits error versus Om

Bits error versus U*

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if n < 1.2863909643541e-310

    1. Initial program 34.3

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*31.8

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied associate-*l*31.6

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied unpow231.6

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]

    8. Applied associate-*r*30.5

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied associate-*r*31.0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}\]

    if 1.2863909643541e-310 < n

    1. Initial program 32.8

      \[\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{Om}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied associate-/l*30.4

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied associate-*l*30.0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot {\left(\frac{\ell}{Om}\right)}^{2}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied unpow230.0

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(n \cdot \color{blue}{\left(\frac{\ell}{Om} \cdot \frac{\ell}{Om}\right)}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]

    8. Applied associate-*r*29.0

      \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot n\right) \cdot \left(U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \color{blue}{\left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right)} \cdot \left(U - U*\right)\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied sqrt-prod22.2

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{2 \cdot n} \cdot \sqrt{U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification26.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \le 1.2863909643541 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(2 \cdot n\right) \cdot U\right) \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{U \cdot \left(\left(t - 2 \cdot \frac{\ell}{\frac{Om}{\ell}}\right) - \left(\left(n \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \frac{\ell}{Om}\right) \cdot \left(U - U*\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot n}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018362 
(FPCore (n U t l Om U*)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (13)"
  (sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))

Details

Time bar (total: 1.2m)Debug log

start823.0ms

Algorithm
intervals

setup279.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 32.1b

localize100.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
9.3b
(/ (* l l) Om)
5.9b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

rewrite65.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 76
Calls

4 calls. Slowest were:

26.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
20.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
12.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

series2.0s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.6s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
350.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ (* l l) Om))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
103.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
15.0ms
(/ (* l l) Om)

simplify8.2s

Counts
52 → 88
Calls

52 calls. Slowest were:

434.0ms
(* (+ t (* 2 (/ (* l l) Om))) (+ U U*))
371.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))
339.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ (* l l) Om)) 3)) (+ U U*)) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ (* l l) Om)) (* 2 (/ (* l l) Om))) (* t (* 2 (/ (* l l) Om))))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- (* U U) (* U* U*)))))))

prune2.0s

Pruning

12 alts after pruning (12 fresh and 0 done)

Merged error: 19.9b

localize18.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
10.3b
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
5.9b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
5.8b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite67.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 81
Calls

4 calls. Slowest were:

41.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
16.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
7.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
297.0ms
(* (* (* 2 n) U) (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))
80.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
30.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify8.5s

Counts
60 → 93
Calls

60 calls. Slowest were:

432.0ms
(sqrt (* (* (* 2 n) U) (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) (+ (* U U) (+ (* U* U*) (* U U*)))) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- (pow U 3) (pow U* 3)))))))
404.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (+ U U*))
365.0ms
(+ (log (* (* 2 n) U)) (log (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))

prune2.3s

Pruning

12 alts after pruning (12 fresh and 0 done)

Merged error: 18.0b

localize17.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
5.9b
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
5.8b
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
5.8b
(* n (pow (/ l Om) 2))

rewrite94.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 87
Calls

4 calls. Slowest were:

44.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
34.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
13.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
295.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))))
111.0ms
(* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))
43.0ms
(* n (pow (/ l Om) 2))

simplify10.1s

Counts
65 → 99
Calls

65 calls. Slowest were:

524.0ms
(* (* U (- (- (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))) (* 2 n))
471.0ms
(+ (log (* 2 n)) (log (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*))))))
448.0ms
(* (* U (- (- (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* n (pow (/ l Om) 2)) (- U U*)))) (* 2 n))

prune2.3s

Pruning

16 alts after pruning (16 fresh and 0 done)

Merged error: 15.0b

localize23.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

18.9b
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
6.0b
(* n (/ l Om))
5.9b
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
5.8b
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))

rewrite159.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 132
Calls

4 calls. Slowest were:

82.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
48.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
20.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))

series1.6s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

1.2s
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))))))
279.0ms
(* (* 2 n) (* U (- (- t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*)))))
87.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) (/ l Om)) (- U U*))
13.0ms
(* n (/ l Om))

simplify22.2s

Counts
116 → 144
Calls

116 calls. Slowest were:

702.0ms
(sqrt (* (* 2 n) (* U (- (* (- (pow t 3) (pow (* 2 (/ l (/ Om l))) 3)) Om) (* (+ (* t t) (+ (* (* 2 (/ l (/ Om l))) (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* t (* 2 (/ l (/ Om l)))))) (* (* (* n l) (/ l Om)) (- U U*)))))))
517.0ms
(* (+ t (* 2 (/ l (/ Om l)))) (* Om Om))
459.0ms
(* (* (* n (/ l Om)) l) (- (* U U) (* U* U*)))

prune3.2s

Pruning

20 alts after pruning (20 fresh and 0 done)

Merged error: 14.7b

regimes1.7s

Accuracy

24.7% (9.1b remaining)

Error of 26.6b against oracle of 17.5b and baseline of 29.6b

bsearch755.0ms