Average Error: 0.2 → 0.0
Time: 33.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]
↓
\[\left(4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right)\right) + (\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot a\right) + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_*\right) - 1\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Derivation

  1. Initial program 0.2

    \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around -inf 0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({b}^{4} + \left({a}^{4} + 2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \left(\color{blue}{(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_*} + 4 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right)\right)\right) - 1\]

  4. Final simplification0.0

    \[\leadsto \left(4 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 - 3 \cdot a\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(1 + a\right)\right) + (\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot a\right) + \left({b}^{4} + {a}^{4}\right))_*\right) - 1\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018360 +o rules:numerics
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (25)"
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))) 1))

Details

Time bar (total: 26.5s)Debug log

start222.0ms

Algorithm
intervals

setup588.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.2b

localize46.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.2b
(fma (fma a a (* b b)) (fma a a (* b b)) (fma (+ 4 (* -12 a)) (* b b) (fma (* 4 a) (fma a a a) -1)))
0.0b
(fma (* 4 a) (fma a a a) -1)
0.0b
(fma (+ 4 (* -12 a)) (* b b) (fma (* 4 a) (fma a a a) -1))
0.0b
(+ 4 (* -12 a))

rewrite2.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 42
Calls

4 calls. Slowest were:

1.0ms
(+ 4 (* -12 a))
0.0ms
(fma (fma a a (* b b)) (fma a a (* b b)) (fma (+ 4 (* -12 a)) (* b b) (fma (* 4 a) (fma a a a) -1)))
0.0ms
(fma (+ 4 (* -12 a)) (* b b) (fma (* 4 a) (fma a a a) -1))

series180.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

86.0ms
(fma (fma a a (* b b)) (fma a a (* b b)) (fma (+ 4 (* -12 a)) (* b b) (fma (* 4 a) (fma a a a) -1)))
40.0ms
(fma (+ 4 (* -12 a)) (* b b) (fma (* 4 a) (fma a a a) -1))
30.0ms
(fma (* 4 a) (fma a a a) -1)
23.0ms
(+ 4 (* -12 a))

simplify1.9s

Counts
12 → 54
Calls

12 calls. Slowest were:

336.0ms
(- (+ (* 4 (pow b 2)) (* 4 (pow a 3))) (* 12 (* a (pow b 2))))
317.0ms
(- (+ (* 4 (pow a 2)) (* 4 (pow a 3))) 1)
302.0ms
(- (+ (* 4 (pow a 2)) (* 4 (pow a 3))) 1)

prune977.0ms

Pruning

4 alts after pruning (4 fresh and 0 done)

Merged error: 0.0b

localize61.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.3b
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite30.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 82
Calls

4 calls. Slowest were:

18.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
4.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
4.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series204.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

100.0ms
(+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
40.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
32.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
32.0ms
(pow (+ (* a a) (* b b)) 2)

simplify5.5s

Counts
48 → 94
Calls

48 calls. Slowest were:

1.0s
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
616.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
494.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))

prune2.0s

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 0.0b

localize52.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.8b
(* a (* b b))
0.8b
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
0.1b
(* (* a a) (+ 1 a))
0.0b
(+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))

rewrite29.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 74
Calls

4 calls. Slowest were:

10.0ms
(+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
8.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))
7.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))

series162.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

73.0ms
(+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))
34.0ms
(* (* a a) (+ 1 a))
28.0ms
(* a (* b b))
26.0ms
(* (* b b) (- 1 (* 3 a)))

simplify5.2s

Counts
40 → 86
Calls

40 calls. Slowest were:

1.1s
(* (* (* (* a a) (* a a)) (* a a)) (* (* (+ 1 a) (+ 1 a)) (+ 1 a)))
593.0ms
(* (* (* (* b b) (* b b)) (* b b)) (* (* (- 1 (* 3 a)) (- 1 (* 3 a))) (- 1 (* 3 a))))
506.0ms
(* 4 (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))

prune1.8s

Pruning

4 alts after pruning (2 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

8.4b
(sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
8.4b
(sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
0.8b
(* a (* b b))
0.8b
(* a (* b b))

rewrite13.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 54
Calls

4 calls. Slowest were:

4.0ms
(sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
3.0ms
(sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
2.0ms
(* a (* b b))

series280.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

127.0ms
(sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
113.0ms
(sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
23.0ms
(* a (* b b))
17.0ms
(* a (* b b))

simplify5.1s

Counts
24 → 66
Calls

24 calls. Slowest were:

536.0ms
(sqrt (* (cbrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))) (cbrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))))
513.0ms
(sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a)))))))
487.0ms
(sqrt (sqrt (+ (fma (* a 2) (* a (* b b)) (+ (pow b 4) (pow a 4))) (* 4 (+ (* (* a a) (+ 1 a)) (* (* b b) (- 1 (* 3 a))))))))

prune1.7s

Pruning

4 alts after pruning (1 fresh and 3 done)

Merged error: 0.0b

regimes369.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.0b against oracle of 0.0b and baseline of 0.0b

bsearch3.0ms