Average Error: 44.0 → 0.8
Time: 47.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (\left((\left(\frac{-1}{3} \cdot im\right) \cdot im + -2)_*\right) \cdot im + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original44.0
Target0.3
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 44.0

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{(\left((\left(\frac{-1}{3} \cdot im\right) \cdot im + -2)_*\right) \cdot im + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]

  4. Final simplification0.8

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot (\left((\left(\frac{-1}{3} \cdot im\right) \cdot im + -2)_*\right) \cdot im + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018360 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

Details

Time bar (total: 29.8s)Debug log

start468.0ms

Algorithm
intervals

setup247.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 44.8b

localize18.0ms

Local error

Found 2 expressions with local error:

4.9b
(- (exp (- im)) (exp im))
0.0b
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))

rewrite30.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
2 → 71
Calls

2 calls. Slowest were:

18.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
11.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

series191.0ms

Counts
2 → 6
Calls

2 calls. Slowest were:

131.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))
60.0ms
(- (exp (- im)) (exp im))

simplify5.5s

Counts
62 → 77
Calls

62 calls. Slowest were:

343.0ms
(* (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))) (* 0.5 (sin re)))
338.0ms
(* (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))) (* 0.5 (sin re)))
327.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (- (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))) (* (cbrt (exp im)) (* (cbrt (exp im)) (cbrt (exp im))))))

prune1.1s

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 0.1b

localize30.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.3b
(* -1/3 im)
0.1b
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
0.1b
(* (pow im 5) -1/60)
0.0b
(fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))

rewrite16.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 52
Calls

4 calls. Slowest were:

10.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
4.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
0.0ms
(* -1/3 im)

series222.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

135.0ms
(* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
41.0ms
(fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))
34.0ms
(* (pow im 5) -1/60)
12.0ms
(* -1/3 im)

simplify2.0s

Counts
22 → 64
Calls

22 calls. Slowest were:

313.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
271.0ms
(- (+ (* 0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3))) (+ (* 1.0 (* (sin re) im)) (* 0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5))))))
268.0ms
(- (+ (* 1/3 (pow im 3)) (+ (* 1/60 (pow im 5)) (* 2 im))))

prune1.3s

Pruning

6 alts after pruning (5 fresh and 1 done)

Merged error: 0.1b

localize18.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

0.6b
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
0.6b
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
0.6b
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
0.4b
(* (cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))

rewrite7.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 69
Calls

4 calls. Slowest were:

5.0ms
(* (cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
1.0ms
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
0.0ms
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))

series537.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

147.0ms
(* (cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))) (cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
139.0ms
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
137.0ms
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))
114.0ms
(cbrt (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))

simplify5.4s

Counts
41 → 81
Calls

41 calls. Slowest were:

620.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (- (log 1/60) (* 5 (log (/ -1 im)))))) (* 20/3 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/60) (* 5 (log (/ -1 im)))))) (pow im 2)))) (* 40/9 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/60) (* 5 (log (/ -1 im)))))) (pow im 4))))
445.0ms
(+ (* 40/3 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 2))) (+ (* 320/9 (/ (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im)))))) (pow im 4))) (exp (* 1/3 (- (log 1/3600) (* 10 (log (/ 1 im))))))))
431.0ms
(- (+ (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (* 1/18 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 2)))) (* 1/3240 (* (exp (* 1/3 (+ (log im) (log -2)))) (pow im 4))))

prune2.0s

Pruning

6 alts after pruning (4 fresh and 2 done)

Merged error: 0.1b

localize22.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

13.5b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
13.5b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
13.5b
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
0.5b
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))))

rewrite21.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 59
Calls

4 calls. Slowest were:

12.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))))
3.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
3.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))

series1.4s

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

367.0ms
(* (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))) (cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60)))))
344.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
340.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
339.0ms
(cbrt (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))

simplify7.1s

Counts
31 → 71
Calls

31 calls. Slowest were:

458.0ms
(* (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
449.0ms
(* (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))) (* (* 0.5 (sin re)) (fma (fma (* -1/3 im) im -2) im (* (pow im 5) -1/60))))
430.0ms
(+ (* (cbrt 0.5) (exp (* 1/3 (- (log (* 1/60 (sin re))) (* 5 (log (/ -1 im))))))) (* 20/3 (/ (* (cbrt 0.5) (exp (* 1/3 (- (log (* 1/60 (sin re))) (* 5 (log (/ -1 im))))))) (pow im 2))))

prune1.7s

Pruning

7 alts after pruning (5 fresh and 2 done)

Merged error: 0.0b

regimes447.0ms

Accuracy

0% (0.3b remaining)

Error of 0.8b against oracle of 0.5b and baseline of 0.8b

bsearch3.0ms