Average Error: 33.6 → 10.6
Time: 54.8s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le -4.854031372780893 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;-\frac{c}{b}\\ \mathbf{elif}\;b \le -9.565134490438525 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot 4}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4} + \left(-b\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;b \le -1.4327714371069 \cdot 10^{-133}:\\ \;\;\;\;-\frac{c}{b}\\ \mathbf{elif}\;b \le 1.6367105644834092 \cdot 10^{+113}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{(\left(-4 \cdot a\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\frac{b}{a}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Target

Original33.6
Target20.3
Herbie10.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \lt 0:\\ \;\;\;\;\frac{c}{a \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if b < -4.854031372780893e+121 or -9.565134490438525e-14 < b < -1.4327714371069e-133

    1. Initial program 51.7

      \[\frac{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}\]

    2. Taylor expanded around inf 51.7

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \sqrt{\color{blue}{{b}^{2} - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}}{2 \cdot a}\]

    3. Simplified51.7

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \sqrt{\color{blue}{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}{2 \cdot a}\]

    4. Taylor expanded around -inf 11.5

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}}\]

    5. Simplified11.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-c}{b}}\]

    if -4.854031372780893e+121 < b < -9.565134490438525e-14

    1. Initial program 46.3

      \[\frac{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--46.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}}}{2 \cdot a}\]

    4. Applied associate-/l/48.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}\right)}}\]

    5. Simplified14.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot c\right) \cdot 4}}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}\right)}\]

    if -1.4327714371069e-133 < b < 1.6367105644834092e+113

    1. Initial program 11.5

      \[\frac{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}\]

    2. Taylor expanded around inf 11.5

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \sqrt{\color{blue}{{b}^{2} - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}}{2 \cdot a}\]

    3. Simplified11.5

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \sqrt{\color{blue}{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}{2 \cdot a}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied *-un-lft-identity11.5

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \color{blue}{1 \cdot \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}{2 \cdot a}\]

    6. Applied *-un-lft-identity11.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(-b\right)} - 1 \cdot \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}{2 \cdot a}\]

    7. Applied distribute-lft-out--11.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}}{2 \cdot a}\]

    8. Applied associate-/l*11.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2 \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied associate-/r/11.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}\]

    if 1.6367105644834092e+113 < b

    1. Initial program 46.8

      \[\frac{\left(-b\right) - \sqrt{b \cdot b - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}{2 \cdot a}\]

    2. Taylor expanded around inf 46.8

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \sqrt{\color{blue}{{b}^{2} - 4 \cdot \left(a \cdot c\right)}}}{2 \cdot a}\]

    3. Simplified46.7

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \sqrt{\color{blue}{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}{2 \cdot a}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied *-un-lft-identity46.7

      \[\leadsto \frac{\left(-b\right) - \color{blue}{1 \cdot \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}{2 \cdot a}\]

    6. Applied *-un-lft-identity46.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(-b\right)} - 1 \cdot \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}{2 \cdot a}\]

    7. Applied distribute-lft-out--46.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}}{2 \cdot a}\]

    8. Applied associate-/l*46.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2 \cdot a}{\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}}}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied associate-/r/46.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{(\left(a \cdot -4\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}\]

    11. Taylor expanded around 0 2.8

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}}\]

    12. Simplified2.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-b}{a}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification10.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le -4.854031372780893 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;-\frac{c}{b}\\ \mathbf{elif}\;b \le -9.565134490438525 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot 4}{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b - \left(a \cdot c\right) \cdot 4} + \left(-b\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;b \le -1.4327714371069 \cdot 10^{-133}:\\ \;\;\;\;-\frac{c}{b}\\ \mathbf{elif}\;b \le 1.6367105644834092 \cdot 10^{+113}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{(\left(-4 \cdot a\right) \cdot c + \left(b \cdot b\right))_*}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\frac{b}{a}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018360 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "quadm (p42, negative)"

  :herbie-target
  (if (< b 0) (/ c (* a (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))) (* 2 a)))) (/ (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))) (* 2 a)))

  (/ (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))) (* 2 a)))

Details

Time bar (total: 46.4s)Debug log

start205.0ms

Algorithm
intervals

setup132.0ms

Pruning

2 alts after pruning (2 fresh and 0 done)

Merged error: 32.8b

localize38.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

22.7b
(sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))
0.8b
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c)))))
0.4b
(- (* b b) (* 4 (* a c)))
0.1b
(/ (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))) (* 2 a))

rewrite30.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 108
Calls

4 calls. Slowest were:

17.0ms
(/ (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))) (* 2 a))
7.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c)))))
3.0ms
(sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))

series218.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

65.0ms
(/ (- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))) (* 2 a))
63.0ms
(sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))
63.0ms
(- (- b) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c)))))
26.0ms
(- (* b b) (* 4 (* a c)))

simplify5.9s

Counts
98 → 120
Calls

98 calls. Slowest were:

362.0ms
(- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c)))) (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c))))))
349.0ms
(- (pow (- b) 3) (pow (sqrt (- (* b b) (* 4 (* a c)))) 3))
347.0ms
(sqrt (- (pow (* b b) 3) (pow (* 4 (* a c)) 3)))

prune1.6s

Pruning

8 alts after pruning (8 fresh and 0 done)

Merged error: 4.7b

localize36.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

22.7b
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))
0.8b
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
0.1b
(/ (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))) (* 2 a))
0.0b
(fma (* a -4) c (* b b))

rewrite38.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 100
Calls

4 calls. Slowest were:

22.0ms
(/ (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))) (* 2 a))
10.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
3.0ms
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))

series233.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

78.0ms
(/ (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))) (* 2 a))
60.0ms
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))
51.0ms
(fma (* a -4) c (* b b))
44.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))

simplify3.7s

Counts
93 → 112
Calls

93 calls. Slowest were:

713.0ms
(- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))))
199.0ms
(- (pow (- b) 3) (pow (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))) 3))
97.0ms
(- (* 2 (/ (* a c) b)) (* 2 b))

prune1.6s

Pruning

7 alts after pruning (7 fresh and 0 done)

Merged error: 4.7b

localize12.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

22.7b
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))
0.8b
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
0.1b
(/ 1 (/ (* 2 a) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))
0.1b
(/ (* 2 a) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))))

rewrite24.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 118
Calls

4 calls. Slowest were:

9.0ms
(/ (* 2 a) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))))
8.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
4.0ms
(/ 1 (/ (* 2 a) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))

series391.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

170.0ms
(/ (* 2 a) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))))
110.0ms
(/ 1 (/ (* 2 a) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))
63.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
49.0ms
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))

simplify4.0s

Counts
108 → 130
Calls

108 calls. Slowest were:

566.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))) (* (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))
490.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))) (* (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))
72.0ms
(cbrt (/ (* 2 a) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))

prune2.3s

Pruning

8 alts after pruning (7 fresh and 1 done)

Merged error: 4.7b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

22.7b
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))
0.8b
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
0.2b
(* (/ 1 (* 2 a)) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))))
0.0b
(fma (* a -4) c (* b b))

rewrite38.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 151
Calls

4 calls. Slowest were:

21.0ms
(* (/ 1 (* 2 a)) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))))
11.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
2.0ms
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))

series287.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

104.0ms
(* (/ 1 (* 2 a)) (- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))))
71.0ms
(- (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))
62.0ms
(sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))
49.0ms
(fma (* a -4) c (* b b))

simplify21.7s

Counts
143 → 163
Calls

143 calls. Slowest were:

724.0ms
(* (/ 1 (* 2 a)) (fma (- (sqrt (cbrt (fma (* a -4) c (* b b))))) (sqrt (* (cbrt (fma (* a -4) c (* b b))) (cbrt (fma (* a -4) c (* b b))))) (* (sqrt (cbrt (fma (* a -4) c (* b b)))) (sqrt (* (cbrt (fma (* a -4) c (* b b))) (cbrt (fma (* a -4) c (* b b))))))))
704.0ms
(* 1 (- (* (- b) (- b)) (* (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))
553.0ms
(+ (* (- b) (- b)) (+ (* (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b)))) (* (- b) (sqrt (fma (* a -4) c (* b b))))))

prune2.6s

Pruning

8 alts after pruning (6 fresh and 2 done)

Merged error: 4.7b

regimes447.0ms

Accuracy

81.8% (5.1b remaining)

Error of 10.6b against oracle of 5.5b and baseline of 33.7b

bsearch852.0ms