Average Error: 0.6 → 0.6
Time: 44.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\]
↓
\[\sqrt[3]{\sqrt{e^{\log \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}} \cdot \sqrt{e^{\log \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}\]

Error

Bits error versus v

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.6

    \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-cbrt-cube1.5

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-exp-log1.5

    \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{e^{\log \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied add-sqr-sqrt0.6

    \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{e^{\log \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right)}} \cdot \sqrt{e^{\log \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}}\]

  8. Final simplification0.6

    \[\leadsto \sqrt[3]{\sqrt{e^{\log \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}} \cdot \sqrt{e^{\log \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018360 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 1"
  (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))

Details

Time bar (total: 31.7s)Debug log

start256.0ms

Algorithm
intervals

setup421.0ms

Pruning

1 alts after pruning (1 fresh and 0 done)

Merged error: 1.0b

localize34.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
0.2b
(* 5 (* v v))
0.0b
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))
0.0b
(- (* v v) 1)

rewrite17.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 65
Calls

4 calls. Slowest were:

9.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))
3.0ms
(- (* v v) 1)
2.0ms
(* 5 (* v v))

series67.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

30.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))
19.0ms
(- (* v v) 1)
11.0ms
(* 5 (* v v))
6.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))

simplify5.4s

Counts
50 → 77
Calls

50 calls. Slowest were:

887.0ms
(/ (* (* (- 1 (* 5 (* v v))) (- 1 (* 5 (* v v)))) (- 1 (* 5 (* v v)))) (* (* (- (* v v) 1) (- (* v v) 1)) (- (* v v) 1)))
625.0ms
(- (* 1 1) (* (* 5 (* v v)) (* 5 (* v v))))
458.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))

prune775.0ms

Pruning

3 alts after pruning (3 fresh and 0 done)

Merged error: 1.0b

localize14.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.3b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (+ v 1) (- v 1))))
0.2b
(* 5 (* v v))
0.0b
(* (+ v 1) (- v 1))
0.0b
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (+ v 1) (- v 1)))

rewrite12.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 78
Calls

4 calls. Slowest were:

5.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (+ v 1) (- v 1)))
4.0ms
(* (+ v 1) (- v 1))
1.0ms
(* 5 (* v v))

series128.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

53.0ms
(/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (+ v 1) (- v 1)))
49.0ms
(* (+ v 1) (- v 1))
20.0ms
(* 5 (* v v))
6.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (+ v 1) (- v 1))))

simplify7.0s

Counts
60 → 90
Calls

60 calls. Slowest were:

808.0ms
(* (* (* (+ v 1) (+ v 1)) (+ v 1)) (* (* (- v 1) (- v 1)) (- v 1)))
422.0ms
(acos (* -1 (/ (- 1 (* 5 (pow v 2))) (* (- 1 v) (+ v 1)))))
396.0ms
(* (- v 1) (+ (* v v) (+ (* 1 1) (* v 1))))

prune996.0ms

Pruning

3 alts after pruning (2 fresh and 1 done)

Merged error: 1.0b

localize20.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.0b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
1.0b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
1.0b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
1.0b
(* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))

rewrite11.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 49
Calls

4 calls. Slowest were:

9.0ms
(* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))
0.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
0.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))

series50.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

40.0ms
(* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))
4.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
3.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
3.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))

simplify10.4s

Counts
32 → 61
Calls

32 calls. Slowest were:

592.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
530.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
516.0ms
(* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))

prune732.0ms

Pruning

4 alts after pruning (3 fresh and 1 done)

Merged error: 1.0b

localize16.0ms

Local error

Found 4 expressions with local error:

1.5b
(exp (log (* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))))
1.0b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
1.0b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
1.0b
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))

rewrite23.0ms

Algorithm
rewrite-expression-head
Counts
4 → 46
Calls

4 calls. Slowest were:

21.0ms
(exp (log (* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))))
0.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
0.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))

series66.0ms

Counts
4 → 12
Calls

4 calls. Slowest were:

48.0ms
(exp (log (* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))))
6.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
6.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))
6.0ms
(acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))

simplify4.2s

Counts
27 → 58
Calls

27 calls. Slowest were:

563.0ms
(exp (sqrt (log (* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))))))
505.0ms
(exp (* (cbrt (log (* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))))) (cbrt (log (* (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1)))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))))))
484.0ms
(exp (log (* (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))) (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))))

prune850.0ms

Pruning

5 alts after pruning (4 fresh and 1 done)

Merged error: 1.0b

regimes230.0ms

Accuracy

0% (0.0b remaining)

Error of 0.6b against oracle of 0.6b and baseline of 0.6b

bsearch2.0ms