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Target

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 0.0

   1. Initial program 58.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+58.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/58.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div58.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified33.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity33.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   9. Applied sqrt-prod33.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{1 \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   10. Applied times-frac33.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2.0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   11. Simplified33.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2.0}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   12. Simplified10.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

   if 0.0 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 3.1015919697360585e+152

   1. Initial program 3.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 3.1015919697360585e+152 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

   1. Initial program 61.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   5. Taylor expanded around 0 43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification22.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 3.1015919697360585 \cdot 10^{+152}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + im\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2018360 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

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