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Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -1.0571318301730581e-215 or 4.272446770192017e-177 < im < 9.817083805151953e-24

   1. Initial program 35.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification35.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt35.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-cube-cbrt35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   7. Applied sqrt-prod35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   8. Simplified35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   if -1.0571318301730581e-215 < im < 4.272446770192017e-177

   1. Initial program 42.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification42.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt43.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   5. Taylor expanded around -inf 34.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)} \cdot 2.0}\]

   if 9.817083805151953e-24 < im

   1. Initial program 39.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification39.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt39.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

   5. Taylor expanded around 0 15.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{im} - re\right) \cdot 2.0}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification29.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.0571318301730581 \cdot 10^{-215}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.272446770192017 \cdot 10^{-177}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 9.817083805151953 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 22.1s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018355 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))