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Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < -9.933260963568786e+143

   1. Initial program 58.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification58.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

   3. Taylor expanded around -inf 7.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)} \cdot 2.0}\]

   if -9.933260963568786e+143 < re < -2.724952334556015e-201

   1. Initial program 16.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification16.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

   if -2.724952334556015e-201 < re < 7.46269608522928e-156

   1. Initial program 30.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]

   3. Taylor expanded around 0 33.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im - re\right)} \cdot 2.0}\]

   if 7.46269608522928e-156 < re < 3.303536690144265e+120

   1. Initial program 42.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip--42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

   5. Applied associate-*l/42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Applied sqrt-div42.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   7. Simplified29.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied add-sqr-sqrt29.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   10. Applied associate-/l*29.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}}}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied add-cube-cbrt29.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}}}}\]

   if 3.303536690144265e+120 < re

   1. Initial program 61.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Initial simplification61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip--61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot 2.0}\]

   5. Applied associate-*l/61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Applied sqrt-div61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   7. Simplified45.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   8. Taylor expanded around inf 20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification22.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -9.933260963568786 \cdot 10^{+143}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.724952334556015 \cdot 10^{-201}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.46269608522928 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.303536690144265 \cdot 10^{+120}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}}{\frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}\right)}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot 2.0\right) \cdot im}}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 17.7s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018354 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))