Average Error: 37.8 → 29.3
Time: 20.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.6299371410884809 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 3.2716800589522033 \cdot 10^{+301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.8
Target33.4
Herbie29.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (* im im) < 1.6299371410884809e-301

    1. Initial program 43.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt43.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod44.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around inf 35.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 1.6299371410884809e-301 < (* im im) < 3.2716800589522033e+301

    1. Initial program 23.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt23.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod23.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt23.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod23.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Simplified23.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    if 3.2716800589522033e+301 < (* im im)

    1. Initial program 60.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt60.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod60.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around 0 34.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification29.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.6299371410884809 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 3.2716800589522033 \cdot 10^{+301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 20.4s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes38.229.321.217.052.7%
herbie shell --seed 2018354 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))