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Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if im < -3.1291903922836078e+97

   1. Initial program 49.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--49.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/49.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div49.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified49.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-undiv49.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   9. Taylor expanded around -inf 11.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{-\left(2.0 \cdot re + 2.0 \cdot im\right)}}\]

   10. Simplified11.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(re + im\right) \cdot \left(-2.0\right)}}\]

   if -3.1291903922836078e+97 < im < -1.8367408839567686e-295

   1. Initial program 31.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div43.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified35.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   7. Taylor expanded around -inf 30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   8. Simplified30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   if -1.8367408839567686e-295 < im < 1.8611915726927864e-204

   1. Initial program 42.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 34.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if 1.8611915726927864e-204 < im < 6.891093407041252e+41

   1. Initial program 30.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--40.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/40.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div41.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified31.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-undiv32.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied add-sqr-sqrt32.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

   11. Applied times-frac31.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \frac{im \cdot 2.0}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

   12. Applied sqrt-prod29.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot 2.0}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)}\]

   if 6.891093407041252e+41 < im

   1. Initial program 42.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--43.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div43.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified42.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-undiv42.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied associate-/l*43.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}{im \cdot 2.0}}}}\]

   11. Taylor expanded around 0 12.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{im}{\frac{\color{blue}{re + im}}{im \cdot 2.0}}}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification23.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -3.1291903922836078 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-2.0\right) \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.8367408839567686 \cdot 10^{-295}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot \left(-0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.8611915726927864 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re \cdot -2\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im \le 6.891093407041252 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{\frac{im \cdot 2.0}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}} \cdot \sqrt{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}}\right) \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{im}{\frac{im + re}{im \cdot 2.0}}}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 19.1s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018353 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))