Average Error: 37.3 → 31.3
Time: 20.8s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -8.565354264606255 \cdot 10^{+127}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.031529468171026 \cdot 10^{-206}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.4468570324213896 \cdot 10^{+115}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.3
Target32.4
Herbie31.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -8.565354264606255e+127

    1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod61.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied sqrt-unprod61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    7. Simplified61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Taylor expanded around -inf 51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{0}}\]

    if -8.565354264606255e+127 < re < 4.031529468171026e-206

    1. Initial program 36.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod36.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied sqrt-unprod36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    7. Simplified36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Taylor expanded around 0 41.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 4.031529468171026e-206 < re < 2.4468570324213896e+115

    1. Initial program 17.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied sqrt-unprod17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    7. Simplified17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    if 2.4468570324213896e+115 < re

    1. Initial program 51.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied sqrt-unprod51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    7. Simplified51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Taylor expanded around inf 9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification31.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -8.565354264606255 \cdot 10^{+127}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.031529468171026 \cdot 10^{-206}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.4468570324213896 \cdot 10^{+115}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 20.8s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes37.331.321.116.237.3%
herbie shell --seed 2018352 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))