Average Error: 43.6 → 0.8

Time: 42.5s

Precision: 64

Internal Precision: 128

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

↓

\[(\left(\left(-\sin re\right) \cdot {im}^{5}\right) \cdot 0.008333333333333333 + \left(\left(im \cdot \left(-1.0\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-\sin re\right)\right))_*\]

Error

The X axis uses an exponential scale — Bits error versus `re`

Target

Original	43.6
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(\frac{1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

Initial program 43.6
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
Taylor expanded around 0 0.8
\[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]
Simplified0.8
\[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{(im \cdot \left((\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) + -2)_*\right) + \left({im}^{5} \cdot \frac{-1}{60}\right))_*}\]
Taylor expanded around inf 0.8
\[\leadsto \color{blue}{-\left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(1.0 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)}\]
Simplified0.8
\[\leadsto \color{blue}{(\left(\left(-\sin re\right) \cdot {im}^{5}\right) \cdot 0.008333333333333333 + \left(\left(-\sin re\right) \cdot (\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(1.0 \cdot im\right))_*\right))_*}\]
Using strategy rm
Applied fma-udef0.8
\[\leadsto (\left(\left(-\sin re\right) \cdot {im}^{5}\right) \cdot 0.008333333333333333 + \left(\left(-\sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot 0.16666666666666666\right) + 1.0 \cdot im\right)}\right))_*\]
Applied distribute-rgt-in0.8
\[\leadsto (\left(\left(-\sin re\right) \cdot {im}^{5}\right) \cdot 0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-\sin re\right) + \left(1.0 \cdot im\right) \cdot \left(-\sin re\right)\right)})_*\]
Final simplification0.8
\[\leadsto (\left(\left(-\sin re\right) \cdot {im}^{5}\right) \cdot 0.008333333333333333 + \left(\left(im \cdot \left(-1.0\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-\sin re\right)\right))_*\]

Runtime

	Baseline	Herbie	Oracle	Span	%
Regimes	0.8	0.8	0.1	0.7	0%

herbie shell --seed 2018351 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 1/6 im) im) im)) (* (* (* (* (* 1/120 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))