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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.923226960429517 \cdot 10^{+65}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{-2 \cdot re}}{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.815776311790508 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.8146842009717115 \cdot 10^{+126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

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Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.8
Target33.0
Herbie23.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -2.923226960429517e+65

    1. Initial program 58.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+58.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/58.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div58.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified41.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied clear-num41.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}}\]

    9. Taylor expanded around -inf 23.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}\]

    if -2.923226960429517e+65 < re < -3.815776311790508e-56

    1. Initial program 45.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot \left(im \cdot 2.0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    8. Simplified38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -3.815776311790508e-56 < re < 1.8146842009717115e+126

    1. Initial program 24.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.8146842009717115e+126 < re

    1. Initial program 55.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification23.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.923226960429517 \cdot 10^{+65}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{-2 \cdot re}}{\sqrt{im \cdot \left(2.0 \cdot im\right)}}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.815776311790508 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(-im\right)}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.8146842009717115 \cdot 10^{+126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 18.2s)Debug logProfile

BaselineHerbieOracleSpan%
Regimes37.823.610.427.451.8%
herbie shell --seed 2018351 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))