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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.887149315119642 \cdot 10^{+138}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.2572532933140416 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}{\sqrt{2.0}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.4029821953931988 \cdot 10^{-209}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + im\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.441512886767404 \cdot 10^{+57}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.5
Target32.8
Herbie17.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -6.887149315119642e+138

    1. Initial program 61.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification61.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sqrt-prod61.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+61.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    7. Applied sqrt-div61.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    8. Applied associate-*l/61.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    9. Simplified47.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    10. Taylor expanded around -inf 8.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -6.887149315119642e+138 < re < -1.2572532933140416e-303

    1. Initial program 38.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sqrt-prod38.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{2.0}\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+38.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    7. Applied sqrt-div38.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \sqrt{2.0}\right)\]

    8. Applied associate-*l/38.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    9. Simplified19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied associate-/l*19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2.0}}}}\]

    if -1.2572532933140416e-303 < re < 1.4029821953931988e-209

    1. Initial program 29.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification29.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Taylor expanded around 0 34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(re + im\right)} \cdot 2.0}\]

    if 1.4029821953931988e-209 < re < 5.441512886767404e+57

    1. Initial program 17.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification17.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt17.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right) \cdot 2.0}\]

    if 5.441512886767404e+57 < re

    1. Initial program 44.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Initial simplification44.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt44.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Taylor expanded around inf 12.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{re} + re\right) \cdot 2.0}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification17.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.887149315119642 \cdot 10^{+138}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.2572532933140416 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}{\sqrt{2.0}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.4029821953931988 \cdot 10^{-209}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + im\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.441512886767404 \cdot 10^{+57}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

Time bar (total: 27.2s)Debug logProfile

herbie shell --seed 2018349 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))