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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -3.118616597177609 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.426312327291927 \cdot 10^{-216}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re \cdot -2\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.2721420394214739 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -3.118616597177609e-82

    1. Initial program 36.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    7. Applied sqrt-prod36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    8. Applied sqrt-prod36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} - re\right) \cdot 2.0}\]

    9. Applied associate-*r*36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    if -3.118616597177609e-82 < im < 4.426312327291927e-216

    1. Initial program 40.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification40.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt41.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Taylor expanded around -inf 35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)} \cdot 2.0}\]

    if 4.426312327291927e-216 < im < 2.2721420394214739e+86

    1. Initial program 27.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification27.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt27.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt28.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} - re\right) \cdot 2.0}\]

    7. Applied associate-*r*27.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    if 2.2721420394214739e+86 < im

    1. Initial program 48.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Initial simplification48.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2.0}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt48.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0}\]

    5. Taylor expanded around 0 9.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\left(\color{blue}{im} - re\right) \cdot 2.0}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification29.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -3.118616597177609 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.426312327291927 \cdot 10^{-216}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re \cdot -2\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.2721420394214739 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Runtime

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herbie shell --seed 2018348 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))